Definition

Addiert man zwei - oder auch mehr - Vektoren, dann nennt man sowohl die Pluskette aus diesen Vektoren eine Vektorsumme wie auch das Ergebnis dieser Addition (Plusrechnung). Will man dazwischen unterscheiden, dann kann man die ursprünglichen Vektoren auch als Vektorkette oder Vektorzug bezeichnen das Ergebnis die Resultierende. Das ist hier kurz erklärt.

Die Vektorsumme als Rechenergegbnis

Die Vektoren (2|2|2) und (1|1|7) ergeben die Vektorsumme (3|3|9): zwei Vektoren zu addieren, also die Summe bilden, heißt rechnerisch, dass man einfach die einzelnen Vektorkoordinaten addieren. Die Rechnung ist also recht einfach. Hier wird nun erklärt, was diese Rechnung und ihr Ergebnis anschaulich meinen.

Was ist eine Summe?

Das Wort Summe wird leider nicht eindeutig verwendet. Es hat zwei verwandte aber doch leicht unterschiedliche Bedeutungen. Bei der Addition 3+4=7 bezeichnet man sowohl die 3+4 als auch das Ergebnis 7beide als Summe. Die Vektorsumme ist also zum einen die Plusaufgabe mit den beiden Summanden 3 und 4. Es ist aber auch das 7rgebnis 7. Wenn man es präziser unterscheiden möchte, nennt man 3+4 auch einen Summenterm und das Ergebnis 7 den Summenwert. Dieselbe Doppeldeutigkeit gibt es auch bei der Summe von Vektoren.

1. Bedeutung: die Vektorsumme anschaulich als Summanden

Angenommen man hat mehrere Vekoren, hier zum Beispiel drei Vektoren a, b und c und soll sie addieren. Anschaulich heißt das, dass man man die drei Vektoren wie Dominosteine hintereinander anordnet. Man nimmt irgendeinen der drei Vektoren (egal welchen). An seine Spitze setzt man dann einen zweiten Vektor mit seinem Anfang. Und an dessen Spitze setzt man den dritten Vektor mit seinem Anfang. Das Ergebnis ist dann eine Art Kette aus den den Anfangsvektoren. Jeder der drei Vektoren ist auch ein Summand (etwas das man plusrechnet). Die ganze Kette aus Vektoren heißt auch Vektorkette oder Vektorzug.

2. Bedeutung: die Vektorsumme anschaulich als Resultierende

Addiert man zwei oder mehr Vektoren, dann bildet man gedanklich zunächst eine Vektorkette, auch Vektorsumme genannt (siehe oben). Dann zieht man eine Vektor vom Anfang dieser Vektorkette bis an ihr Ende. Dieser neue Vektor ist das Ergebnis der Vektoraddition. Es ist derjenige Vektor, mit dem man auf ein Mal vom Anfang der Vektorkette bis direkt an ihr Ende kommt. Die Vektorsumme als Ergebnis nennt man auch die Resultierende ↗

Die Vektorsumme am Beispiel von Ameisen

Bei einem Spaziergang kann man am Wegesrand immer wieder Ameisen dabei beobachten, wie sie gemeinsam schwere Gegenstände bewegen. Ameisen gehen dabei oft sehr intelligent vor. Sie bilden oft eine sogenannte kollektive Intelligenz.

Hier sieht man kleine Waldameisen, wie sie einen schweren Regenwurm bewegen.

Bewegen viele Ameisen gemeinsam einen großen Gegenstand, oft ist das ein Tierkadaver, dann übt jede Ameise für sich eine Kraft auf den Gegenstand aus. Die Kraft einer jeden Ameise für sich kann man als einen Vektor darstellen. Die Summe aller Vektoren gibt die Vektorsumme, die Resultierende. Die Resultiere für sich alleine kann dann angeben, in welche Richtung sich der Gegenstand im Endeffekt bewegt.

Wenn die Ameisen einigermaßen schlau vorgehen, dann haben sie zwei Strategien: a) sie drücken alle in dieselbe Richtung und b) sie vermeiden es, zusammen mit der Reibung zwischen Gegenstand und Boden ein Drehmoment zu erzeugen. Die Vermeidung eines Drehmomentes heißt dann zum Beispiel, dass die vielen einzelnen Ameisen möglichst gleichmäßig verteilt entlang des Gegenstandes ansetzen. Kann man das im Video beobachten?

Wie berechnet man die Vektorsumme?

Die Berechnung ist sehr einfach: man addiert alle x-Koordinaten. Das Ergebnis ist die x-Koordinate der Resultierenden. Dann addiert man alle y-Koordinaten. Das Ergebnis ist die y-Koordinaten der Resultierenden. Analog geht man für die z-Koordinate vor. Mehr zur rechnerischen Vektoraddition unter Vektor plus Vektor ↗

Die Linearkombination als besondere Vektorsumme

Ein Sonderfall einer Vektorsumme ist die sogenannte Linearkombination. Hier werden Vektoren addiert, wobei man vorher aber ihre Länge beliebig ändern darf. Rechnerisch heißt das, dass man jeden Vektor vor der Addition mit einer beliebigen Zahl malrechnen darf. Das Ergebnis dieser Addition ist dann die Linearkombination ↗