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Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Teilbarkeit

Mathematik

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Definition｜ Was meint teilbar?｜ Anschaulich｜ Formal｜ Schreibweise｜ Beispiele｜ Minuszahlen｜ Tipps｜ Warum sind die natürlichen Zahlen diskret?｜ Die Teilbarkeit in der Physik｜ Fußnoten


Definition


Man kann ohne Rest und ohne Kommazahl teilen: in der Mathematik heißt teilbar, dass man ganze Zahlen ohne Rest und ohner Zerteilung von Einsen in mehrere gleich große Stücke teilen kann. Das ist hier genauer definiert.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Eine Gruppe von zwei Menschen kann man gut in zwei gleich große Gruppen teilen, aber nicht gut in drei gleich große Gruppen: Teilbarkeit heißt, dass man ohne Rest und ohne Zerteilen von Einzelstücken teilen kann. © GDJ on www.openclipart.org ☛


Was meint teilbar?


  • Teilbar ist ein mathematischer Fachbegriff.
  • Teilbar können immer nur zwei ganze Zahlen sein.
  • (ganze Zahlen sind solche, die man ohne Komma oder Bruch schreiben kann).
  • Teilbar meint nicht, dass man überhaupt irgendwie teilen kann (das geht meistens).
  • Teilbar meint, dass beim Teilen kein Rest herauskommt, die Rechnung also "glatt" aufgeht.
  • Anders gesagt: kommt beim Teilen eine ganz Zahl heraus, dann ist die eine Zahl durch die andere teilbar.

Anschaulich


  • Man kann 2 Kinder sinnvoll auf zwei Zimmer verteilen.
  • Die dazugehörige Rechnung wäre 2:2 = 1: in jedem Zimmer ist dann 1 Kind.
  • Man kann aber 2 Kinder nicht sinnvoll auf drei Zimmer verteilen.
  • Die Rechnung 2:3 würde hier keinen Sinn machen.
  • Es müssen ganze Zahlen herauskommen.
  • Nur das meint teilbar.

Formal


  • Gibt es eine ganze Zahl n, sodass gilt: a·n=b, dann ist a ein Teiler von b.
  • Beispiel: mit n=7 gilt: 5·7=35. Also ist 5 ein Teiler von 35.

Schreibweise


  • Man schreibt: a | b und sagt: a ist ein Teiler von b.
  • Man schreibt: a ∤ b und sagt: a ist kein Teiler von b.

Beispiele


  • Die 12 ist teilbar durch 6, denn 12:6 gibt 2.
  • Die 12 ist teilbar durch 4, denn 12:4 gibt 3.
  • Die 12 ist teilbar durch 1, denn 12:1 gibt 12.
  • Die 12 ist nicht teilbar durch 5, denn 12:5 gibt 2,4.
  • Die 12 ist nicht teilbar durch 0,5. Denn 0,5 ist keine ganze Zahl.

Minuszahlen


  • In der Schulmathematik gelten als Teiler oft nur natürliche Zahlen.
  • Natürliche Zahlen fangen erst bei der 1 an: 1; 2; 3; 4 und so weiter.
  • In der höheren Mathematik betrachtet man aber alle ganzen Zahlen.
  • Die ganzen Zahlen sind zum Beispiel: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2 und so weiter.
  • Betrachtet man die ganzen Zahlen, dann hat die 12 zum Beispiel auch die -3 oder -4 als Teiler.
  • Es muss immer gesagt werden, ob man nur natürliche oder alle ganzen Zahlen betrachtet.

Tipps


  • Keine Zahl ist durch 0 teilbar (durch 0 kann man nie teilen).
  • Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar (geht immer glatt auf).
  • Eine echte Kommazahl kann nie teilbar sein (egal durch was).

Warum sind die natürlichen Zahlen diskret?


Die 60 ist eine Zahl die man durch viele andere Zahlen ohne Rest teilen kann. Das war vielleicht einer der Gründe, warum sich die 60 in der Art, wie wie Sekunden und Minuten zählen durchsetzen konnte. Man kann die 60 zunächst durch zwei teilen und erhält dann die 30. Diese kann man wieder durch zwei teilen und erhält 15. Die Fünfzehn kann man dann gut durch 3 teilen und erhält 5. Und schlussendlich kann man die Fünf noch durch sich selbst teilen und kommt dann bei der Eins an. Aber damit hat die Teilbarkeit jetzt ein Ende gefunden: spätestens die Eins kann nicht weiter mit natürlichen oder ganzen Zahlen geteilt werden. Die Eins ist sozusagen der kleinste Baustein der natürlichen Zahlen. Wenn es einen solchen kleinsten Baustein gibt, so nennt man etwas auch diskret ↗

Die Teilbarkeit in der Physik


Schon die antiken griechischen Denken fragten sich, ob man ein Stück Materie beliebig oft und immer feiner teilen kann. Wenn man von einem Stück Knete ein kleines Stückchen abtrennt, und von diesem kleinen Stückchen wieder ein noch kleineres Stück, kommt man dann irgendwann einmal an einen Punkt, ab dem sich die Knete nicht weiter teilen lässt? Oder kann man sie zumindest theoretisch beliebig fein stückeln? Je nachdem, ob man hier mit einem Ja oder einem Nein antwortet, kommt man in der Physik zu zwei ganz unterschiedlichen Ideen:


Die Frage, ob die physikalische Wirklichkeit aus kleinsten nicht weiter zerlegbaren Bausteinen besteht oder au seinem zusammenhängenden Kontinuum beliebig fein stückelbarer Ding wird näher betrachtet im Artikel Kontinuum (Physik) ↗

Fußnoten


  • [1] "Kontinŭum, ein Zusammenhängendes; etwas, von dem jeder Teil wieder in Teile zerlegbar ist; kontinuierliche oder stetige Größen sind daher solche, deren Teilbarkeit unbeschränkt ist, wie Strecken, Zeiträume etc." In: der Artikel "Kontinuum". Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 11. Leipzig 1907, S. 441. Siehe auch Kontinuum ↗