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Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Methoden

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Basiswissen｜ Was ist ein Scheitelpunkt?｜ Methodenübersicht｜ Normalform mit QE｜ Allgemeine Form mit QE｜ Scheitelpunktform gegeben｜ Scheitelpunkt über Nullstellen｜ Scheitelpunkt über ABC-Formel｜ Scheitelpunkt über Ableitung｜ Scheitelpunkt über pq-Formel｜ Scheitelpunkt aus Graph


Basiswissen


Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel ist ihr Scheitelpunkt. Er liegt in der Mitte zwischen den zwei Parabelästen. Einen Scheitelpunkt zu bestimmen heißt, seine x- und seine y-Koordinaten anzugeben, etwa als (2|4). Hier stehen verschiedene Methoden dazu.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht eine braune nach unten geöffnete Parabel.☛


Was ist ein Scheitelpunkt?


Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Jede Parabel hat immer genau einen höchsten oder einen tiefsten Punkt. Diesen nennt man den Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt wird oft mit SP abgekürzt. Ihn zu berechnen heißt, herauszufinden was seine x- und y-Werte sind. Dazu gibt es verschiedene Verfahren:

Methodenübersicht



Normalform mit QE


  • In der Schule üblich:
  • Man hat zum Beispiel: f(x)=x²-6x+13
  • Man formt das um in die sogenannte Scheitelpunktform:
  • Aus f(x)=x²-6x+13 wird dann zum Beispiel f(x)=(x-3)²+4.
  • Man wendet dazu eine binomische Formel rückwärts an.

Allgemeine Form mit QE


  • In der Schule üblich:
  • Man hat zum Beispiel: f(x)=2x²-8x+14
  • Man formt das um in die sogenannte Scheitelpunktform:
  • Aus f(x)=2x²-6x+13 wird dann zum Beispiel f(x)=2(x-2)²+6.
  • Man wendet dazu eine binomische Formel rückwärts an.

Scheitelpunktform gegeben


  • Nur ablesen:
  • Wenn man die Scheitelpunktform schon hat, kann man den SP direkt ablesen.
  • Beispiel: aus f(x)=(x-3)²+4 kann man sofort ablesen SP(3|4).

Scheitelpunkt über Nullstellen


  • Geht nicht immer:
  • Wenn es Nullstellen gibt, dann liegt der x-Wert des Scheitelpunktes ...
  • genau in der Mitte zwischen den zwei Nullstellen.

Scheitelpunkt über ABC-Formel


  • Schnell, aber unüblich:
  • Funktionsgleichung gegeben als f(x)=Ax²+Bx+C
  • Dann ist der Scheitelpunkt: [-B:(2A)|C-B²:(4A)]

Scheitelpunkt über Ableitung


  • Sehr schnell:
  • Hierzu muss man schon etwas von Differentialrechnung gelernt haben.
  • Man leitet die Funktionsgleichung einmal ab, setzt das gleich 0 ...
  • und löst nach x auf, das gibt die Scheitelstelle.

Scheitelpunkt über pq-Formel


  • Schnell aber unüblich:
  • Bei der Normalform darf vor dem x² nichts mehr stehen.
  • Funktionsgleichung gegeben in Normalform: f(x)=x²+px+q
  • Dann ist der Scheitelpunkt: [-p:2|q-(p:2)²]

Scheitelpunkt aus Graph


  • Schnell mit Ableseungenauigkeiten:
  • Wenn man den Graphen der Funktion hat, dann ...
  • kann man den Scheitelpunkt mehr oder minder genau ablesen.