Definition

0 = x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24: eine ganzrationale Gleichung vierten Grades besteht nur aus Polynomen. Die höchste Potenz von der Unbekannten, meistens als x geschrieben ist die Zahl 4. Hier steht mehr zur Definition.

Definition

Eine Plus-/Minuskette aus Vielfachen von Potenzen von x bei denen die Hochzahlen von x nur natürliche Zahlen sind und die größte Hochzahl die vier ist, heißen quartisch. Man kann jede quartische Gleichung in die allgemeine Form umwandeln: 0 = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Quartische Gleichungen lösen

Es gibt Formeln zum Lösen einer quartischen Gleichung. Aber diese Formeln sind rechnerisch so aufwändig, dass sie selten genutzt werden. In der Schulmathematik kommen sie nicht vor. Es gibt jedoch Sonderfälle quartischer Gleichungen, die vergleichsweise leicht zu lösen sind: die biquadratische und die Potenzgleichung.

Die Ferrari-Formel

Um eine quartische Gleichung zu lösen kann man eine Art extrem aufgeblähte pq-Formel verwenden, die sogenannte Ferrari-Formel. Zur Berechnung benötigt man lediglich die vier Grundrechenarten sowie das Ziehen von Wurzeln. Die Formel wurde von dem damals 18 Jahre alten Ludovico Ferrari aus dem italienischen Bologna gefunden. Siehe mehr unter Ferrari-Formel ↗

Sonderfall biquadratische Gleichung

ax⁴ + cx² + e = 0

Die Form oben heißt biquadratische Gleichung.

Sie ist ein Sonderfall der quartischen Gleichung.

Als Potenzen von x treten nur 0, 2 und 4 auf.

Sie ist vergleichsweise einfach zu lösen.

Mehr unter biquadratische Gleichung ↗

Sonderfall Potenzgleichung

ax⁴ + e = 0

Kann man eine Gleichung in diese Form bringen, heißt sie Potenzgleichung.

Man hat nur einen Term mit x-hoch-vier und dann plus oder minus eine Zahl.

Auf der anderen Seite der Gleichung steht nur eine 0.

Diese Form ist sehr leicht zu lösen (umformen).

Mehr unter Potenzgleichung ↗

Tipp

Bei einer konstanten Zahl wie e, kann man sich

als Hochzahl von x die Zahl 0 denken.

Denn e ist wie e·x⁰.

(Hoch 0 gibt immer 1.)

10 Beispiele

1) x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24 = 0

2) x⁴ - 2x³ - 1x² + 2x + 0 = 0

3) x⁴ - 9x³ + 30x² - 44x + 24 = 0

4) x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 = 0

5) x⁴ - 5x³ - 1x² + 5x + 0 = 0

6) x⁴ + 0x³ - 10x² + 0x + 9 = 0

7) x⁴ - 4x³ - 12x² + 32x + 64 = 0

8) x⁴ - 7x³ + 6x² + 0x + 0 = 0

9) x⁴ - 6x³ - 11x² + 24x + 28 = 0

10) x⁴ - 6x³ - 45x² + 50x + 0 = 0

Lösungen: 1: {1, 2, 3, 4}; 2: {0, 1, -1, 2}; 3: {2, 2, 2, 3}; 4: {-1, -2, -3, -4}; 5: {5, -1, 0, 1}; 6: {3, -3, 1, -1}; 7: {4, 4, -2, -2}; 8: {6, 0, 0, 1}; 9: {7, -1, 2, -2}; 10: {10, -5, 1, 0}.

Synonyme

Ganzrationale Gleichung vierten Grades ↗

Quartische Gleichung ↗

Fußnoten

[1] Um jede der vier möglichen Lösungen einer quartischen Gleichung zu finden gibt es insgesamt 4 unterschiedliche Rechenterme. Diese enthalten unter anderem verschachtelte Wurzeln und eine große Anzahl einzelner Rechenschritte. Siehe dazu den Artikel zur Ferrari-Formel ↗