Nullstellen von Parabeln
Wo eine Parabel die x-Achse schneidet
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Beispiele｜
Wie bestimmt man sie?｜
Aufgaben (mit Lösungen)
Basiswissen
Die x-Werte, bei denen eine Parabel die x-Achse schneidet. Kurz erklärt werden hier die Definition, Anzahlen, Beispiele und die Berechnung.
Definition
- Nullstellen von Parabeln sind immer auch Nullstellen von quadr. Funktionen.
- Nullstellen sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
- Nullstellen werden manchmal auch x-Achsenabschnitte genannt.
- Oft wird statt y auch f(x) geschrieben, beides meint dasselbe.
- An den Nullstellen ist der y-Wert immer gleich Null (Name).
- Nullstellen werden oft mit NS abgekürzt.
Anzahl
- Eine Parabel kann keine, genau eine oder zwei NS haben.
- Eine Parabel hat niemals drei oder noch mehr NS.
Bestimmen
Zuerst setzt man den Funktionsterm f(x), oft auch als y geschrieben, gleich 0. Dann hängt es davon ab, wie die andere Seite der Gleichung aussieht. Nicht alle Verfahren funktionieren für alle Fälle. Immer funktionieren die pq-Formel und die ABC-Formel:
Um die Nullstellen sicher und schnell berechnen zu können, braucht man normalerweise wiederholt Übungen über mehrere Wochen hinweg. Das Thema wird ausführlich behandelt auf der Seite Nullstellen von Parabeln bestimmen ↗
Beispiele
- f(x) = x² hat nur eine NS, nämlich bei (0|0).
- f(x) = x² - 4 hat genau zwei NS, nämlich bei (-2|0) und (2|0).
- f(x) = x² - x - 6 hat zwei NS, nämlich bei (-2|0) und (3|0).
Wie bestimmt man sie?
- Indem man den Funktionswert f(x) gleich 0 setzt, ...
- entsteht eine quadratische Gleichung. Diese kann
- man lösen, z. B. mit der pq-Formel oder sonstwie.
- Mehr unter Nullstellen von Parabeln bestimmen ↗
Aufgaben (mit Lösungen)
a) f(x) = x² - 9
b) f(x) = x² - 2x - 8
c) f(x) = x² + 5x + 6
d) f(x) = x² - 7x + 10
e) f(x) = x² + 3x - 10
f) f(x) = (x - 4)(x + 2)
g) f(x) = x² - 16x + 63
h) f(x) = x² + 6x + 9
i) f(x) = x² - x - 12
j) f(x) = x² + 2x - 15
a) x₁,₂ = -3, 3 | b) x₁,₂ = -2, 4 | c) x₁,₂ = -2, -3 | d) x₁,₂ = 2, 5 | e) x₁,₂ = -5, 2 | f) x₁,₂ = -2, 4 | g) x₁,₂ = 7, 9 | h) x₁,₂ = -3 (Doppelnullstelle) | i) x₁,₂ = -3, 4 | j) x₁,₂ = -5, 3