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Lokaler Hochpunkt

Definition

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Basiswissen｜ Wie ist lokaler Hochpunkt exakt definiert?｜ Welche Eigenschaften hat ein lokaler Hochpunkt?｜ Kann ein Graph mehrere lokale Hochpunkte haben?｜ Was sind typische Funktionen mit lokalen Hochpunkten?｜ Begriffe｜ Lokale Hochpunkte in der Mathematik｜ Die Falle des lokalen Optimums｜ Fußnoten


Basiswissen


Ein lokaler Hochpunkt, auch relativer Hochpunkt genannt, ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, dessen unmittelbaren Nachbarn alle tiefer liegen.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Graph kann auch kubische Parabel genannt werden.☛


Wie ist lokaler Hochpunkt exakt definiert?


  • Mit Hilfe der sogenannten epsilon-Umgebung:
  • Ein Hochpunkt ist ein Punkt, in dessen epsilon-Umgebung keine höheren Punkte liegen.
  • Das heißt, wenn man eine beliebig kleine Umgebung links und rechts ...
  • von dem Hochpunkt finden kann, in der alle anderen Werte tiefer sind, ...
  • dann war der untersuchte Punkt auch ein Hochpunkt.

Welche Eigenschaften hat ein lokaler Hochpunkt?


  • Bei einer Parabel heißt der lokale Hochpunkt Scheitelpunkt.
  • Allgemein (nicht nur für Parabeln) gilt:
  • Die Steigung ist immer Null.
  • Die Tangente verläuft dort waagrecht.
  • Die erste Ableitung ist dort Null.
  • Die zweite Ableitung ist dort negativ.

Kann ein Graph mehrere lokale Hochpunkte haben?


  • Ja. Die Sinusfunktion hat unendlich viele Hochpunkte.
  • Auch ganzrationale Funktionen ab dem Grad 4 können mehrere Hochpunkte haben.

Was sind typische Funktionen mit lokalen Hochpunkten?



Begriffe



Lokale Hochpunkte in der Mathematik


  • In der Schulmathematik kommen sie bei Kurvendiskussion vor.
  • Eine wichtige praktische Anwendung sind Optimierungsaufgaben.
  • Das sind Aufgaben, bei denen irgendwas möglichst groß sein soll.
  • Man kann bei einer Firma versuchen, den Gewinn möglichst groß zu machen.
  • Bei einer Flugzeugkonstruktion soll vielleicht die Reichweite möglichst groß sein.
  • Bei einer Medizin kann die Wirkungsdauer möglichst gut optimal sein.

Die Falle des lokalen Optimums


Eine große praktische Bedeutung haben lokale Hochpunkte bei Strategien einer Optimierung nach dem sogenannten Gradientenverfahren.[1] Hat man zum Beispiel einen Graphen einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, kann dieser zwei unterschiedlich hohe Hochpunkte haben:

f(x)=-x⁴+0,5x³+2x²

Besonders interessant ist der Graph im Intervall von x=-2 bis x=2. Von links aus betrachter steigt der Graph erst steil an, hat dann bei etwa (-0,82993|0,61732) einen lokalen Hochpunkt, fällt dann auf einen lokalen und globalen Tiefpunkt bei (0|0) und steigt dann wieder auf einen zweiten lokalen und dann auch globalen Hochpunkt bei etwa (1,20493|1,67052) an.


Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.
Kommt das Verfahren zur Suche zuerst beim linken Hochpunkt an, bleibt es dort sozusagen hängen. Der rechte Hochpunkt wird ohne geeignete Gegenmaßnahme nicht gefunden.

Man begibt sich nun gedanklich auf einen Punkt auf dem Graphen links vom linken Hochpunkt bei x=-2. Wenn man jetzt die Strategie verfolgt, in einer Umebung von etwa einem Zehntel x-Schritt nach links und einem Zehntel x-Schritt nach rechts nach höheren Punkten zu suchen, wird man einen Schritt nach rechts machen. Von dort aus wird man wieder einen Schritt nach rechts machen. So bewegt man sich langsam auf den linken Hochpunkt auf dem Graphen zu. Ist man dort angekommen, wird man mit dieser Strategie aber auch dort "festhängen". Der rechte Hochpunkt des Graphen ist zu weit entfernt, als dass man ihn mit der gewählten Strategie und dem doch lokal recht beschränkten Blick in einer Umgebung von nur einem Zehntel, also 0,1 Schritten zu finden. Diesen Nachteil des Gradientenverfahrens bezeichnet man auch als Falle des lokalen Optimums[2] oder auch als vorzeitige Konvergenz ↗

Fußnoten


  • [1] Bei einem sogenannten Gradientenverfahren wandert man auf dem Graphen einer Funktion zum Beispiel immer bergauf. Je weniger weit man dabei vom momentanen Standpunkt aus blickt, desto lokaler geht man vor. Die biologische Evolution im Sinne Darwins ist mehr oder minder ein solches Gradientenverfahren ↗
  • [2] Von einer "Falle des lokalen Optimums" sprechen am Beispiel eines technischen Optimierungsproblem: A. Alshahrani, N. M. Namazi, M. Abdouli, M. A. Alqarni: Escaping the local optima trap caused by PSO by hybridization scheme for elongate the WSN's lifetime. 2017 8th IEEE Annual Information Technology, Electronics and Mobile Communication Conference (IEMCON), Vancouver, BC, Canada, 2017, pp. 121-127, doi: 10.1109/IEMCON.2017.8117166.
  • [3] Von einer vorzeitigen Konvergenz (premature convergence) sprechen zum Beispiel: Yee Leung, Yong Gao, Zong-Ben Xu: Degree of population diversity - a perspective on premature convergence in genetic algorithms and its Markov chain analysis. In: IEEE Transactions on Neural Networks. Band 8, Nr. 5, September 1997, ISSN 1045-9227, S. 1165–1176, doi:10.1109/72.623217. Siehe auch Vorzeitige Konvergenz ↗