Basiswissen

1. Zielgröße festlegen

• Die Zielgröße ist das, was mini- oder maximal werden soll.
  

• Buchstaben für die Zielgröße festelegen, z. B. ein großes A für eine Fläche.
  

• Irgendeine eine flache Fläche, z. B. Rechteck: A
  

• Von einem Körper, z. B. Quader, die Oberfläche: O
  

• Von einen Körper, z. B. Zylinder, das Volumen: V
  

• Siehe auch Zielgröße ↗
  

2. Hauptbedingung aufstellen

• Die Hauptbedingung ist eine Formel.
  

• Links vom Gleichzeichen steht nur die Zielgröße.
  

• Rechts steht eine Formel, wie man die Zielgröße berechnen könnte.
  

• Diese Formel darf rechts mehrere Unbekannte haben.
  

• Umgebe jede einzelne Unbekannte mit einer Klammer.
  

• Siehe auch Hauptbedingung ↗
  

0. Zwischengedanke

• Gleich soll die Zielfunktion erstellt werden.
  

• Die Zielfunktion ist wie die Hauptbedingung, aber sie darf rechts nur eine Unbekannte stehen haben.
  

• Dass rechts vom Gleichheitszeichen nur noch eine Unbekannte steht ist das Ziel der Nebenbedingung.
  

• Hat die Hauptbedingung rechts bereits nur eine Unbekannte, dann ist die Hauptbedingung bereits die Zielfunktion.
  

• In diesem Fall kann man direkt zum Punkt 5 weitergehen.
  

3. Nebenbedingung aufstellen

• Man nimmt die rechtsseitigen Unbekannten der Hauptbedingung.
  

• Man sucht und formuliert irgendeine formelhafte Beziehung zwischen ihnen.
  

• Man sucht also eine Formel, in der die Unbekannten vorkommen.
  

• Diese Formel nennt man dann die Nebenbedingung.
  

• Die Nebenbedingung jetzt nach irgendeiner der Unbekannten umstellen
  

• Umstellen meint: diese Unbekannte steht am Ende links alleine.
  

• Siehe auch Nebenbedingung ↗
  

4. Zielfunktion aufstellen

• Man verbindet jetzt Haupt- und Nebenbedingung über das Einsetzungsverfahren ↗
  

• Man setzt dazu den Term rechts aus der umgestellen Nebenbedingung für die ...
  

• entsprechende Unbekannte aus der Hauptbedingung ein.
  

• Jetzt hat man rechts in der Hauptbedingung nur noch eine Unbekannte.
  

• Ab jetzt heißt die Hauptbedingung dann Zielfunktion.
  

• Siehe auch Zielfunktion ↗
  

5. Globale Extrempunkte bestimmen

• Wenn man die Zielfunktion hat, dann bestimmt den Definitionsbereich:
  

• Lege den kleinsten sinnvoll möglichen Wert für die Unbekannte fest.
  

• Lege den größten sinnvoll möglichen Wert für die Unbekannte fest.
  

• Der Definitionsbereich sind alle Zahlen vom kleinsten bis größten Wert.
  

• Dann bilde von der Zielfunktion die erste Ableitung f'(x)
  

• Globalen Hoch- oder Tiefpunkt (je nach Fragestellung) bestimmen.
  

• Global meint hier: innerhalb des gesamten Definitionsbereiches.
  

• Für Maxima siehe Globalen Hochpunkt bestimmen ↗
  

• Für Minima siehe Globalen Tiefpunkt bestimmen ↗
  

• Als Ergebnis hat man dann eine Extremstelle.
  

• Das ist der x-Wert der Unbekannten.
  

6. Restliche Unbekannte bestimmen

• Man nimmt den Wert der in 5 bestimmten Unbekannten.
  

• Man setzt ihn in die Nebenbedingung ein.
  

• Man stellt die Nebenbedingung um nach der anderen Unbekannten.
  

• Damit kann man ihren Wert bestimmen.
  

7. Extremwert bestimmen

• Die Werte alle Unbekannten setzt man jetzt in die Hauptbedingung ein.
  

• Das gibt den gesuchten Extremwert (maximal oder minimal) der Zielgröße.
  

8. Antwort

• Man schreibt die gefundenen Werte für die Unbekannten ...
  

• und für die Zielgröße in einem Antwortsatz auf.
  

Wo steht ein Zahlenbeispiel?

• Das Standardbeispiel ist die Maximierung einer Weidefläche.
  

• Es ist vorgerechnet auf Weideflächenmaximierung über Hochpunkt ↗
  

Aufgaben zur Übung

• Extremwertaufgaben können extrem schwer zu lösen sein.
  

• Eine Sammlung mit Lösungen ist hier als Quickcheck zusammengestellt.
  

• Zu den Aufgaben geht es über => qck