Basiswissen

Eine Gruppe im Sinne der Algebra ist eine Menge von Dingen (z. B. Zahlen, Symbole, Objekte, Bewegungen) zusammen mit einer Regel, wie man immer zwei dieser Dinge miteinander verknüpfen soll, etwa als Rechenvorschrift. Dabei werden noch weitere Anforderungen an die Art der Verknüpfung gestellt. Das klassische Beispiel für eine algebraische Gruppe ist die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition als Verknüpfung. Das ist hier mit weitr erklärt.

Vollständige Definition

Eine Menge G (z. B. die ganzen Zahlen) zusammen mit einer binären Operation^[2] (z. B. die Addition) kann allgemein dargestellt werden über a*b. Dabei sind a und b Dinge aus der Menge G (z. B. 3 und 4) und das Zeichen * steht für eine beliebige Operation, etwa die Addition. Für eine Gruppe im Sinne der Algebra müssen dann die folgenden Voraussetzungen erfüllt sein:

1) Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge G gibt wieder ein Element der Menge G.^[3] Man spricht von Abgeschlossenheit.

2) Klammern beeinflussen das Ergebnis der Verknüpfung nicht: a*(b*c) = (a*b)*c.^[4] Es gilt also das Assoziativgesetz ↗

3) Es gibt ein Element n der Menge G, das bei einer Verknüpfung nichts bewirtk: a*n = n*a = a.^[5] Siehe auch neutrales Element ↗

4) Zu jedem Element a gibt es ein sogenannts Inverses Element a⁻¹, sodass gilt: a*a⁻¹ = e.^[6] Siehe auch inverses Element ↗

Gilt zusätzlich noch 5), das Kommutativgesetzt, dass also a*b = b*a, dann ist die Gruppe auch noch eine sogenannte Abelsche Gruppe ↗

Beispielhafte Fragen

Im folgenden werden jeweils eine Menge und eine dazugehörige Verknüpfung dargestellt. Man kann anhand der Bedingungen von oben nun für sich selbst überprüfen, ob die Fälle a bis d eine algebraische Gruppe bilden oder nicht:

a) (ℕ, +)
b) (ℚ, +)
c) (ℝ, · )
d) (ℚ {0}, · )

a) steht für die natürlichen Zahlen mit der Addition, b) für die rationalen Zahlen mit der Addition, c) für die reellen Zahlen mit der Multiplikation und d) für die rationalen Zahlen aber ohne die 0 für die Multiplikation.

Die Drehung als Beispiel

Algebraische Gruppen werden nun nicht nur für Zahlen definiert. Man kann sie auch mit eher physikalischen Operationen wie einer Drehung in Verbindung bringen. Man stelle sich eine Kreisscheibe vor, die in der Mitte mit eine Nagel drehbar auf einer Holzplatte befestigt ist. Man kann also die Kreisscheibe um den Nagel drehbar. Nun kann man sich eine Menge G vorstellen, die aus beliebigen Drehwinkeln besteht.^[7] Als Operation mit diesen Drehwinkeln definiert man dann eine Drehung. Ein Zahlenbeispiel soll zeigen, dass die vier Bedingungen von oben für solche Drehungen gelten. Das Operationszeichen * steht jetzt also für eine Verknüpfung zweier Drehungen.

1) Eine Drehung von 10° und dann von 30° gibt eine Drehung von 40°: es gilt die Abgeschlossenheit ↗

2) (10° * 20°) * 30° = 10°*(20°*30°) => Assoziativ

3) 10°*0° = 0°*10° = 10°. Die 0° ist ein neutrales Element ↗

4) 50°+(-50°) = 0°. Die 50° haben -50° als inverses Element ↗

Die Idee der Drehung steht in der Physik eng verbunden mit der Idee einer Symmetrie. Und Symmetrien spielen in der Physik eine zentrale Rolle. Bestimmte Symmetrien bedingen etwa die Existenz von Erhaltungsgrößen. Fundamentale Konzepte der Mathematik sind oft auch fundamentale Konzepte der Physik.

Fußnoten

[1] "Eine Menge G, versehen mit einer binären Operation *, heißt Gruppe, wenn * assoziativ ist, * ein neutrales Element e besitzt und zu jedem Element a ∈ G ein inverses Element a⁻¹ existiert mit a*a⁻¹ = a⁻¹ * a = e." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "5.3.3 Gruppen". Seite 344.

[2] Als binäre Operation bezeichnet man jede Operation, die genau zwei Dinge miteinander verknüpft. So kann die Addition zwei Zahlen 3 und 4 so verknüpfen, dass als Ergebnis die 7 herauskommt. Nicht binär ist zum Beispiel die Operation des Wurzelziehens, da man das nur mit einer Zahl macht. Auch nicht binär wäre das Spatprodukt der Vektorrechnung, da dort genau drei Vektoren miteinander verknüpft werden müssen. Siehe auch Binär ↗

[3] Zum Beispiel: wenn man zwei ganze Zahlen mit der Addition verknüpft, kommt wieder eine ganze Zahl heraus. Ein Gegenbeispiel wäre die Division mit natürlichen Zahlen: wenn man die Zahlen 3 und 4 dividiert, ist das Ergebnis keine natürliche Zahl. Ein weiteres Gegenbeispiel ist das Skalarprodukt aus der Vektorrechnung. Dort werden zwei Vektoren so verknüpft, dass das Ergebnis kein Vektor mehr ist sondern eine reelle Zahl, ein sogenanntes Skalar. Siehe auch Skalarprodukt ↗

[4] Man kann selbst an Beispielen überprüfen, dass dies für die Addition oder auch Multiplikation ganzer Zahlen zutrifft, etwa: 4+(3+1) = (4+3)+1. Es trifft aber nicht auf die Subtraktion und Division zu: 4-(3-1) ≄ (4-3)-1. Siehe auch Assoziativgesetz ↗

[5] Das neutrale Element der Addition ganzer Zahlen ist die Zahl 0, denn: 4+0=0+4=4. Siehe mehr unter neutrales Element ↗

[6] Das inverse Element der Zahl 4 bezüglich der Addition ist die -4, denn: 4+(-4)=0. Und die 0 ist das neutrale Element e. Siehe mehr unter inverses Element ↗

[7] Wenn man die Scheibe um einen Viertel Kreis nach links dreht, ist der Drehwinkel 90°. Dreht man die Kreissscheibe um eine halbe Drehung nach rechts wäre der Drehwinkel 180°. Siehe mehr unter Drehwinkel ↗