Basiswissen

Gebrochen heißt hier so viel wie: als Bruch geschrieben. Ein Ausdruck irgendwas-hoch-Bruch hat also einen gebrochenen Exponenten. Gebrochene Exponenten verbinden die Idee der Potenzen mit der Idee der Wurzel.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht zwei gleichwertige Regeln für gebrochene Exponenten.☛

Vorab

Bei der Potenz 4 hoch 3/2 gilt:

Der ganze Ausdruck ist eine Potenz ↗

Die 4 ist die Basis ↗

3/2 ist der Exponent ↗

Ein gebrochener Exponent meint,

dass der Exponent ein Bruch ist.

Zwei Wege für Umformungen

Es gibt zwei Arten, wie man Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten weiter berechnen kann. Beide Wege können zum Ziel führen:

1. Weg: a hoch m/n = (a hoch m) und daraus die n-te Wurzel

2. Weg: a hoch m/n = (n-te Wurzel aus a) und das hoch m

Die Grundidee ist es, dass der Zähler des Bruches (oben) als Exponent der Basis gedeutet wird. Der Nenner (unten) wird als n-te Wurzel gedeutet. 9 hoch 3/2 ist dann also wie 9 hoch 3 (gibt 729) und dann daraus die Wurzel (gibt 27). Man kann auch erst die n-te Wurzel ziehen und dann hochrechnen: 9 und daraus die zweite Wurzel ist 3. Und das hoch 3 gerechnet gibt auch 27.

Zahlenbeispiel

4 hoch 3/2

1. Weg: Erst 4 hoch 3 ⭢ 64 ⭢ dann Wurzel aus 64 ⭢ 8

2. Weg: Erst 2-te Wurzel aus 4 ⭢ 2 ⭢ dann hoch 3 ⭢ 8

Auf beiden Wegen kommt die richtige Antwort 8 heraus.

Anwendungsbeispiele

Gebrochene Exponenten kommen in den Naturwissenschaften und der Technik an vielen Stellen vor. Ein Beispiel ist die Umrechnung einer Windgeschwindigkeit von Metern pro Sekunde, gemessen 10 Meter über der Wasseroberfläche, in die Beaufortskala der Seefahrt, die die Windtärke von 1 bis 12 angibt: B = (v/0,8360)^(2/3) gibt die Beaufort-Windstärke als Funktion der Wingeschwindigkeit in m/s. Und v = 0,8360·B^(3/2) gibt die Windgeschwindigkeit in m/s als Funktion des Beaufortwertes. Der gebrochene Exponent ist hier einmal 3/2 oder 1,5 und das andere Mal 2/3 oder etwa 0,6666. Siehe mehr unter Beaufortskala ↗

Inkonsistenzen

Dürfte man beliebige reelle Zahlen für a, m und n, ...

einsetzen dann könnten Widersprüche auftreten.

Siehe dazu beispielhaft (Minus 4)^(ein halb) ↗

Definitionsbereiche

Um Inkonsistenzen innerhalb der Mathematik zu vermeiden,

werden folgende Einschränkungen definiert:

a darf eine beliebige reelle Zahl sein.

Ist a<0 muss m ganzzahlig und n ungerade und natürlich sein.

Ist a=0 muss m ganzzahlig aber nicht 0 sein, n muss natürlich sein.

Ist a>0 muss m ganzzahlig und n natürlich Zahl sein.

Beispiele

In der Meteorologie die Internationale Höhenformel ↗