Extremwertaufgaben über Analysis
7 Aufgaben mit Lösungen
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Basiswissen｜
1. Zielgröße festlegen｜
2. Hauptbedingung aufstellen｜
0. Zwischengedanke｜
3. Nebenbedingung aufstellen｜
4. Zielfunktion aufstellen｜
5. Globale Extrempunkte bestimmen｜
6. Restliche Unbekannte bestimmen｜
7. Extremwert bestimmen｜
8. Antwort｜
Wo steht ein Zahlenbeispiel?｜
Aufgaben zur Übung
Grundidee
Bei einer Extremwertaufgabe geht es darum, eine Zielgröße möglichst groß oder möglichst klein zu machen. Die Grundidee ist, dass man die entsprechenden Werte über Hoch- und Tiefpunkte im Sinne der Analysis findet. Der Schlüssel, textlich formulierte Fragen so in die Mathematik übersetzen zu können ist ein Verständnis der Begriffe Zielgröße, Hauptbedingung und Nebenbedingung. Dazu stehen hier einige Aufgaben mit Lösungen.
Aufgaben
a) Weidefläche
- An einem geraden Fluss soll eine rechteckige Weidefläche eingezäunt werden.
- An dem Fluss entlang selbst ist kein Zaun nötig.
- Die drei anderen Seiten benötigen allerdings Zaun.
- Insgesamt hat man 120 Meter Zaunlänge zur Verfügung.
- Wie lang und breit wird die Weidefläche, ...
- wenn ihre Fläche maximal sein soll?
b) Vorratskammer
- An eine Hauswand soll eine quaderförmige (Rechteckkiste) Vorratskammer gebaut werden.
- Die Grundfläche der Vorratskammer soll quadratisch sein.
- Insgesamt stehen dafür 48 m² Holzplatten zur Verfügung.
- Was ist die Höhe für das maximale Volumen?
c) Produkt I
- Die Zahl 100 soll in zwei positive Summanden zerlegt werden.
- Das Produkt der Summanden soll möglichst groß werden.
- Wie lauten die Summanden?
d) ProduktII
- Die Zahl 80 soll in zwei Summanden zerlegt werden.
- Keiner der Summanden darf dabei negativ sein.
- Das Produkt der Summanden soll möglichst klein werden.
- Wie lauten die Summanden?
e) Kurvenfläche
- Man hat den Graphen der Funktion f(x)=4-0,5x.
- Der Definitionsbereich geht von x=0 bis x=8.
- Auf dem Graphen selbst sei frei beweglich der Punkt P.
- Für P erlaubt sind nur x-Werte von 0 bis 8.
- Von P ausgehend soll man sich eine waagrechte und ...
- eine senkrechte Linie vorstellen. Diese zwei Linien ...
- bilden mit der x- und y-Achse ein Rechteck.
- Wo muss P auf der Geraden liegen, dass der ...
- Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird?
f) Rechteckfläche
- Man hat Material für 120 Meter Zaun.
- Damit soll eine rechteckige Weidefläche umzäunt werden.
- Der Zaun soll alle vier Seiten komplett umschließen.
- Bei welcher Länge und Breite des Rechtecks kann welche maximale Fläche umzäunt werden?
g) Weidezaun mit Tor
- Man hat Material für 150 Meter Zaun.
- Damit soll eine rechteckige Weidefläche eingezäunt werden.
- Eine der vier Seiten ist ein Fluss. Dort ist kein Zaun nötig.
- An der Seite gegenüber des Flusses soll ein Tor in den Zaun gebaut werden.
- Das Tor soll genau halb so breit sein wie diese Seite.
- Wie breit und wie lang ist die Weidefläche, wenn ...
- der Flächeninhalt maximal werden soll?
Lösungen
a) Länge 60 m, Breite 30 m
b) Würfel mit Kantenlänge von etwa 40,8 cm
c) noch keine Lösung
d) 80 und 0
e) P(4|2)
f) Das optimale Rechteck wäre ein Quadrat mit 30 m Kantenlänge. Die Fäche wäre dann 900 m².