Allgemeine Form der quadratischen Gleichung
0=ax²+bx+c
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Basiswissen
0 = ax² + bx + c: jede Gleichung, die man in diese Form bringen kann heißt quadratisch und liegt in der sogenannten allgemeinen Form vor. Alle solche Gleichungen kann man sofort über die sogenannte ABC-Formel oder nach einer Umformung über die pq-Formel lösen.
Bauplan
- 0 = ax² + bx + c
Legende
- Links vom Gleichzeichen steht immer eine 0.
- Das x nennt man die 👉 Unbekannte
- a, b und c heißen 👉 Koeffizienten
- Das a darf jede Zahl außer 0 sein.
- Das b darf jede Zahl sein.
- Das c darf jede Zahl sein.
Lösungsverfahren
Steht vor dem x² eine andere Zahl als 1, dann kann man ohne weitere Umformungen sofort die ABC-Formel verwenden. Die Formel ist vor allem in Süddeutschland recht verbreitet. Wer lieber nur die pq-Formel verwendet (was immer auch geht), muss die Gleichungen vorher in die Normalform für die pq-Formel umwandeln (vor dem x² darf maximal eine 1 stehen).
ABC-Formel
Steht vor dem x² eine Zahl, kann man direkt die ABC-Formel benutzen. Sie ist rechnerisch aufwändiger als die pq-Formel, hat aber den Vorteil, dass man die Gleichung vorher nicht in die Normalform bringen muss:
- Beispiel:
- 0 = 2x²-16x+30
- Koeffizienten ablesen:
- A=2, B=-16, C=30
- (Bei der ABC-Formel schreibt man die Koeffizienten meist als Großbuchstaben.)
- Die Formel:
- [-B ± √(B² - 4AC)] / (2A)
- Das ± ist das 👉 Plusminuszeichen
- Der Querstrich / ist eine 👉 Geteiltzeichen
- Man rechnet die Formel einmal mit + und einmal mit -.
- Einsetzen:
- [16 ± √((-16)²-4·2·30)]/(2·2)
- Vereinfachen:
- [16 ± 4]/4
- Erste Lösung mit + gibt: x=5
- Zweite Lösung mit - gibt: x=3
Mit einer Einsetzprobe kann man überprüfen, ob die eigene Lösung stimmt. Setzt man hier im Beispiel entweder die 5 oder die 3 in die ursprüngliche Gleichung ein, wird auf beiden Seiten am Ende die Zahl 0 herauskommen. Damit sind die Lösungen richtig. Siehe mehr unter 👉 quadratische Gleichungen über ABC-Formel
pq-Formel
Die pq-Formel ist oft schneller und mit weniger Fehlern gerechnet als die ABC-Formel. Um aber die pq-Formel anwenden zu können, muss man die Gleichung vorher in die sogenannte Normalform umwandeln. Ob sich dieser zusätzliche Aufwand lohnt, hängt auch von den eigenen Vorlieben ab. Bei korrekter Ausführung werden beiden Formel immer auch dieselben Ergebnisse liefern.
- Beispiel:
- 0 = 2x²-16x+30
- In Normalform umwandeln:
- 0 = 2x²-16x+30 | :2
- 0 = x²-8x+15
- p=-8 und q=15
- Formel:
- -p/3 ± √(p/2)²-q)
- Einsetzen:
- -(-8) ± √(8/2)²-15) | Vereinfachen
- 4 ± √(4)²-15) | Ausrechnen
- 4 ± √1 | Ausrechnen
- Erste Lösung: x=5
- Zweite Lösung: x=3
Das sind dieselben zwei Lösungen, die wir auch über die ABC-Formel oben erhalten hatten. Eine ausführliche Erklärung mit Aufgaben zum Üben findet man auf der Seite über die 👉 pq-Formel
Tipps
Sowohl bei der ABC-Formel wie auch bei der pq-Formel kann der Fall auftreten, dass manche Teile der Gleichungsformen "fehlen" oder die Koeffizienten nicht direkt sichtbar sind. Tatsächlich muss es immer einen Zahlenwert geben, den man für die Platzhalter in den Formeln einsetzt. Und das ist auch immer möglich:
ABC-Formel
- 4x²-64 = 0 -> A=4; B=0; C=-64
- 4x² = 0 -> A=4; B=0; C=0
- x²-12x+35 = 0 -> A=1; B=-12; C=35
- -x²-7x+10 = 0 -> A=-1; B=-7; C=10
- -x²-7x = 0 -> A=-1; B=-7; C=0
- -x²-7x = 0 -> A=-1; B=-7; C=0
pq-Formel
- x²-49 = 0 -> p=0; q=-49
- x²-4x = 0 -> p=-4; q=0
- x² = 0 -> p=0; q=0
Umwandlungen in andere Formen
Die allgemeine Forme der quadratischen Gleichung 0 = Ax²+Bx+C ist gut geeignet, wenn man darüber die Lösungen berechnen möchte. Für andere Fragestellungen sind andere Formen oft besser. Oft kann man eine gegebene Forme in eine gewünschte andere Form umwandeln: