Äquivalenzumformung ⇔ Definition Man formt eine Gleichung so um, dass sich ihre Lösungsmenge dabei nicht verändern kann. Das wird hier erklärt am Beispiel: 2·(x-4) = 12. Wie lautet die Definition? Das Wort spielt beim Lösen von Gleichungen eine wichtige Rolle. Mit Äquivalenzumformungen kann man Schritt für Schritt schwere in leichte Gleichungen umformen. Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, bei der sich die Lösungsmenge einer Gleichung nicht ändern kann. Was meint "Lösungsmenge"? Nehmen wir die Gleichung 2·(x-4) = 12 Wenn man für die Unbekannte x die Zahl 10 einsetzt, dann geht die Gleichung auf. Jede Zahl, die das "kann", würde man eine Lösung dieser Gleichung nennen. Bei der Gleichung oben ist die Zahl 10 die einzige Lösung. Also ist die Zahl 10 auch die ganze Lösungsmenge. Was wäre eine Äquivalenzumformung? 2(x-4)=12 kann man noch durch Probieren lösen. Man könnte es aber auch über Umformungen lösen. Man könnte zum Beispiel erst beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen. Das gäbe: x-4=6. Das ist jetzt eigentlich eine neue Gleichung. Aber auch bei ihr ist die einzige passende Lösung die Zahl 10. Das Teilen durch 2 war also eine Äquivalenzumformung. Jetzt kann man auf beiden Seiten die Zahl 4 addieren. Das gibt die neue Gleichung x=10. Auch hier ist die Lösungsmenge nur die Zahl 10. Auch die Addition war also eine Äquivalenzumformung. Was wäre keine Äquivalenzumformung? Nehmen wir wieder: 2·(x-4)=12 Man könnte beide Seiten der Gleichung mit 0 malnehmen. Dann gäbe das 0=0. So eine Gleichung nennt man eine "Identität". Egal was man für x "einsetzt", die Gleichung geht immer auf. Man sagt, dass die Lösungsmenge aus allen möglichen Zahlen besteht. Vor dem Malnehmen war die Lösungsmenge also 10, hinterher waren es alle Zahlen. Das Malnehmen mit 0 hat also die Lösungsmenge verändert. Beide Seiten einer Gleichung mit 0 malnehmen ist keine Äquivalenzumformung. Wie schreibt man das? Normalerweise benutzt man den Äquivalenzpfeil ⇔ ↗ In der Schulmathematik kommt auch der Umformungsstrich vor: | Aufgaben In den Quickcheck-Aufgaben (qck) werden verschiedene Umformungen vorgenommen. Bei vielen ändert sich dabei die Lösungmenge. Es wird trainiert, das zu erkennen. Aufgaben unter => qck Man sieht die Lösungsschritte einer linearen Gleichung: Gunter Heim Äquivalent [auch andere Bedeutungen] Äquivalenzumformungen [Beispiele] Keine Äquivalenzumformungen Äquivalenzzeichen Mathematische Zeichen Algebra Analysis Aufgaben zu Äquivalenzumformung Äquivalenzumformung auf Wikipedia Zurück zur Startseite