Definition

Wie lautet die Definition?

• Das Wort spielt beim Lösen von Gleichungen eine wichtige Rolle.
  

• Mit Äquivalenzumformungen kann man Schritt für Schritt schwere in leichte Gleichungen umformen.
  

• Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, bei der sich die Lösungsmenge einer Gleichung nicht ändern kann.
  

Was meint "Lösungsmenge"?

• Nehmen wir die Gleichung 2·(x-4) = 12
  

• Wenn man für die Unbekannte x die Zahl 10 einsetzt, dann geht die Gleichung auf.
  

• Jede Zahl, die das "kann", würde man eine Lösung dieser Gleichung nennen.
  

• Bei der Gleichung oben ist die Zahl 10 die einzige Lösung.
  

• Also ist die Zahl 10 auch die ganze Lösungsmenge.
  

Was wäre eine Äquivalenzumformung?

• 2(x-4)=12 kann man noch durch Probieren lösen.
  

• Man könnte es aber auch über Umformungen lösen.
  

• Man könnte zum Beispiel erst beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen.
  

• Das gäbe: x-4=6. Das ist jetzt eigentlich eine neue Gleichung.
  

• Aber auch bei ihr ist die einzige passende Lösung die Zahl 10.
  

• Das Teilen durch 2 war also eine Äquivalenzumformung.
  

• Jetzt kann man auf beiden Seiten die Zahl 4 addieren.
  

• Das gibt die neue Gleichung x=10.
  

• Auch hier ist die Lösungsmenge nur die Zahl 10.
  

• Auch die Addition war also eine Äquivalenzumformung.
  

Was wäre keine Äquivalenzumformung?

• Nehmen wir wieder: 2·(x-4)=12
  

• Man könnte beide Seiten der Gleichung mit 0 malnehmen.
  

• Dann gäbe das 0=0.
  

• So eine Gleichung nennt man eine "Identität".
  

• Egal was man für x "einsetzt", die Gleichung geht immer auf.
  

• Man sagt, dass die Lösungsmenge aus allen möglichen Zahlen besteht.
  

• Vor dem Malnehmen war die Lösungsmenge also 10, hinterher waren es alle Zahlen.
  

• Das Malnehmen mit 0 hat also die Lösungsmenge verändert.
  

• Beide Seiten einer Gleichung mit 0 malnehmen ist keine Äquivalenzumformung.
  

Wie schreibt man das?

• Normalerweise benutzt man den Äquivalenzpfeil ⇔ ↗
  

• In der Schulmathematik kommt auch der Umformungsstrich vor: |
  

Aufgaben

• In den Quickcheck-Aufgaben (qck) werden verschiedene Umformungen vorgenommen.
  

• Bei vielen ändert sich dabei die Lösungmenge.
  

• Es wird trainiert, das zu erkennen.
  

• Aufgaben unter => qck