Zahlpartition

Mathematik

Basiswissen｜ Definition｜ Beispiele｜ Das Einspluseins｜ Passerzahlen｜ Anzahl der Partionen｜ Fußnoten

Basiswissen

Als Zahlpartition oder Zerlegung bezeichnet jede Umwandlung einer Zahl in natürliche Zahlen, die als gemeinsame Summe wieder die ursprüngliche Zahl ergeben. Die Zahl 7 kann man zum Beispiel in die 4 und die 3 oder in die 5 und die 2 oder auch in sieben 1er zerlegen. Die bekannteste Form von Zahlzerlegungen ist das Einspluseins.

Definition

Das Wort gehört in das die 👉 Zahlentheorie

Die Zahlentheorie ist die Mathematik mit nur natürlichen Zahlen.

Zerlegt werden dürfen nur 👉 natürliche Zahlen

Zerlegen meint: umformen in eine 👉 Pluskette

Jeder Teil der Pluskette ist ein 👉 Summand

Als Summand sind nur natürliche Zahlen erlaubt.

Die 0 ist dabei nicht erlaubt.

Beispiele

Die möglchen Partition der 2 sind 1+1 und 2 alleine.

Die möglichen Partitionen der 3 sind 1+1+1 und 2+1 und die 3 alleine.

Partionen der 4 sind 1+1+1+1; 3+1; 2+2, 2+1+1 und die 4 alleine.

Das Einspluseins

Das sogenannte kleine Einspluseins ist ein Sonderfall von Zahlpartionen. Es fasst alle Additionen mit genau zwei natürlicher Summanden von der 1 bis zur 20 als mögliche Summanden auf. Das kleine Einspluseins spielt eine Rolle im Rechnen in der Grundschule. Siehe auch 👉 kleines Einspluseins

Passerzahlen

Ein weiterer Sonderfall der Zahlpartionen sind die sogenannten Passerzahlen. Als Passerzahlen einer Zahl n bezeichnet man überlicherweise zwei natürliche Zahlen, die als Summe die Zahl n ergeben. Die Passerzahlen sind sozusagen das kleine Einspluseins rückwärts gedacht. Siehe auch 👉 Passerzahlen

Anzahl der Partionen

Interessant ist, wie schnell die Anzahl der möglichen Partionen anwächst, wenn man größere Zahlen betrachtet. Die doch eher kleine Zahl 22 hat schon über 1000 verschiedene mögliche Partitionen.

Wenn n ein Platzhalter für irgendeine natürliche Zahl ist, dann seht p(n) für die Anzahl der möglichen Partionen. Zwei Partionen gelten als gleich, "falls sie sich höchstens in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden".^[1]

Die Zahl n ist ihr eigener Summand: 8 ist eine erlaubte Partition der 8 selbst.

Ein Summand darf auch mehrfach vorkommen: 4+4 ist eine erlaubte Partition von 8.

Die bloße Änderung der Reihenfolge gibt keine neuen Partionen: 4+3 ist dieselbe Partition wie 3+4.

Die übliche Abkürzung für die Anzahl der Partionen von n ist p(n).

Mit dieser Definition kann man jetzt die Anzahl der Partitionen für wachsende Werte von n betrachten. Die Anzahl wächst dabei sehr schnell:

1 -> p(n)=1

2 -> p(n)=2

3 -> p(n)=3

4 -> p(n)=5

5 -> p(n)=7

6 -> p(n)=11

7 -> p(n)=15

8 -> p(n)=22

9 -> p(n)=30

10 -> p(n)=42

11 -> p(n)=56

12 -> p(n)=77

13 -> p(n)=101

14 -> p(n)=135

15 -> p(n)=176

16 -> p(n)=231

17 -> p(n)=297

18 -> p(n)=385

19 -> p(n)=490

20 -> p(n)=627

21 -> p(n)=792

22 -> p(n)=1002

23 -> p(n)=1255

24 -> p(n)=1575

25 -> p(n)=1958

26 -> p(n)=2436

27 -> p(n)=3010

28 -> p(n)=3718

29 -> p(n)=4565

30 -> p(n)=5604

31 -> p(n)=6842

32 -> p(n)=8349

33 -> p(n)=10143

34 -> p(n)=12310

35 -> p(n)=14883

36 -> p(n)=17977

37 -> p(n)=21637

38 -> p(n)=26015

39 -> p(n)=31185

40 -> p(n)=37338

41 -> p(n)=44583

42 -> p(n)=53174

43 -> p(n)=63261

44 -> p(n)=75175

45 -> p(n)=89134

46 -> p(n)=105558

47 -> p(n)=124754

48 -> p(n)=147273

49 -> p(n)=173525

50 -> p(n)=204226

51 -> p(n)=239943

52 -> p(n)=281589

53 -> p(n)=329931

54 -> p(n)=386155

55 -> p(n)=451276

56 -> p(n)=526823

57 -> p(n)=614154

58 -> p(n)=715231

59 -> p(n)=831820

60 -> p(n)=966467

61 -> p(n)=1121505

62 -> p(n)=1300156

63 -> p(n)=1505499

64 -> p(n)=1741630

65 -> p(n)=2012558

66 -> p(n)=2323520

67 -> p(n)=2679689

68 -> p(n)=3087735

69 -> p(n)=3554345

70 -> p(n)=4087968

71 -> p(n)=4697205

72 -> p(n)=5392783

73 -> p(n)=6185689

74 -> p(n)=7089500

75 -> p(n)=8118264

76 -> p(n)=9289091

77 -> p(n)=10619863

78 -> p(n)=12132164

79 -> p(n)=13848650

80 -> p(n)=15796476

81 -> p(n)=18004327

82 -> p(n)=20506255

83 -> p(n)=23338469

84 -> p(n)=26543660

85 -> p(n)=30167357

86 -> p(n)=34262962

87 -> p(n)=38887673

88 -> p(n)=44108109

89 -> p(n)=49995925

90 -> p(n)=56634173

91 -> p(n)=64112359

92 -> p(n)=72533807

93 -> p(n)=82010177

94 -> p(n)=92669720

95 -> p(n)=104651419

96 -> p(n)=118114304

97 -> p(n)=133230930

98 -> p(n)=150198136

99 -> p(n)=169229875

Fußnoten

[1] Als "Partition einer natürlichen Zahl" bezeichnet man "jede Dartellung einer natürlichen Zahl n als Summe von natürlichen Zahlen". In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Dort auf Seite 156.