Wurzel einer komplexen Zahl

==== Definition ====

Definition｜ Besonderheit der komplexen Wurzel｜ Was wären Beispiele?｜ Wie findet man die Wurzel?｜ Ein Unterschied zu Quadratwurzeln aus reellen Zahlen｜ Fußnoten

Jede komplexe Zahl w, die mit sich selbst multipliziert wieder die Ausgangszahl z ergibt, nennt man eine komplexe Wurzel dieser Zahl z. Das ist hier näher erklärt.

Besonderheit der komplexen Wurzel ====

Jede komplexe Zahl w, die mit sich komplex multipliziert die komplexe Zahl z ergibt, heißt (komplexe) Wurzel von z: nach dieser - korrekten - Definition kann eine komplexe Zahl mehrere Wurzeln haben. In der Gaußschen Zahlenebene liegen die Wurzel radialsymmetrisch um den Ursprung verteilt. Man beachte hierbei, dass die Wurzel für reelle Zahlen immer nur als eine positive Zahl definiert ist. Diese Einschränkung existiert für die Wurzel einer komplexen Zahl nicht mehr.

Was wären Beispiele?

Die komplexe Zahl -1+0i hätte die Wurzel i.

Die komplexe Zahl -9+0i hätte die Wurzel 0+3i.

Wie findet man die Wurzel?

Das geht am besten über die Exponential- oder Polarform.

Mehr dazu unter 👉 komplexe Zahl radizieren

Ein Unterschied zu Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Sowohl für reelle wie auch für komplexe Zahlen ist die sogenannte Quadratwurzel, auch zweite Wurzel genannt, definiert. Für die Quadratwurzel aus einer reellen Zahl gilt aber die Einschränkung, dass diese Wurzel nicht negativ sein darf. Für die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl gilt diese Einschränkung nicht.^[1] Siehe auch 👉 Quadratwurzel

Fußnoten

[1] Die Quadratwurzel ist die "zweite Wurzel aus einer reellen oder komplexen Zahl." Dabei gilt, dass die Wurzel x aus einer reellen Zahl stets größer oder gleich Null ist. "Läßt man dagegen auch komplexe Zahlen zu, so kann man auf jede Einschränkung verzichten und aus jeder beliebigen komplexen Zahl […] zwei Quadratwurzeln ziehen." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Dort der Artikel "Quadratwurzel". Seite 305.