Basiswissen

(4+2i)³ - der Moivresche Satz sagt, wie man eine komplexe Zahl hoch einem Exponenten rechnet. Es gibt dabei eine einfache anschauliche Deutung.

Vorab

Von jeder komplexen Zahl sind beliebige Potenzen definiert.

Als Exponent können ganze oder auch gebrochene Zahlen vorkommen.

Moivrescher Satz

Es gilt: z^q = r^q·[cos(q·phi)+i·sin(q·phi)]

Legende

z = eine beliebige komplexe Zahl

q = eine beliebige reelle Zahl

r = der Betrag von z (Abstand vom Ursprung)

Anschaulich

Stellt man sich eine komplexe Zahl als Punkt in einem kartesischen Koordianatensystem vor, dann bewirkt eine Potenzierung mit einer natürlichen Zahl (hoch n) Folgendes: der Abstand des Punktes zum Koordinatenursprung (der Betrag) wird auf das n-fache vergrößert. Und: der Winkel, den die Linie von dem Punkt zum Koordinatenursprung mit der x-Achse einschließt (das Argument), wird ebenfalls auf das n-fache vergrößert. Siehe als einfaches Beispiel auch komplexe Zahl quadrieren ↗

Tipps

Mit diesem Satz kann man leicht beliebige Potenzen einer komplexen Zahl bilden.

Setzt man für den Exponenten die Zahl 0,5 ein, kann man damit die Wurzel von z ziehen.