Teiler
Definition
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Basiswissen
Das Wort Teiler hat mehrere Bedeutungen: es gibt die Teiler einer Zahl, es gibt die Teilermenge (alle Teiler zusammen) sowie auch den Teiler als Divisor. Diese Bedeutungen werden kurz erklärt.
Teiler einer Zahl
Die Zahl 8 hat als Teiler die Zahlen 1, 2, 4 und sich selbst. Die Zahl 11 hat aber nur zwei Teiler, nämlich die 1 und die 11 selbst.
DEFINTION I: Teiler einer Zahl sind diejenigen (immer gleichen) Zahlen, die als Pluskette geschrieben genau die ursprünglich Zahl ergeben.
Das Wort Pluskette meint hier so viel wie Summe. Nehmen wir die Teiler der Zahl 8 als Beispiel. Die folgende Liste gibt alle Teiler der Zahl 8 als Pluskette.
- 1+1+1+1+1+1+1+1 = 8 ✓
- 2+2+2+2 = 8 ✓
- 3+3 ist zu wenig, 3+3+3 ist zu viel, kein Teiler
- 4+4 = 8 ✓
- 5 ist zu wenig, 5+5 ist zu viel, kein Teiler
- 6 ist zu wenig, 6+6 ist zu viel, kein Teiler
- 6 ist zu wenig, 7+7 ist zu viel, kein Teiler
- 8 = 8 ✓
Die Pluskette darf auch nur eine Zahl lang sein. Damit gilt auch die 8 selbst als ein Teiler von sich. Eine Einschränkung ist, dass die Teiler immer nur ganze Zahlen sein dürfen. Ganz sind die Zahlen wie -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 und so weiter. Eine echte Kommazahl wie zum Beispiel 2,5 oder 0,1 sind als Teiler nicht erlaubt. Eine andere Möglichkeit, Teiler zu definieren, geht über die Division, also das Teilen. Daher kommt wohl auch das eigentliche Wort Teiler. Kann man mit einer Zahl ohne Rest dividieren, ist sie ein Teiler.
DEFINITION:
II: "Will man die Teiler einer Zahl ermitteln […], so ist ein einfaches und sicheres Verfahren, alle Teiler zu finden, die Zahl nacheinander durch 1, 2, 3 … usw. zu dividieren. Geht die Division ohne Rest auf, so hat man einen Teiler gefunden." [3]
II: "Will man die Teiler einer Zahl ermitteln […], so ist ein einfaches und sicheres Verfahren, alle Teiler zu finden, die Zahl nacheinander durch 1, 2, 3 … usw. zu dividieren. Geht die Division ohne Rest auf, so hat man einen Teiler gefunden." [3]
- 8:1 = 8 ✓
- 8:2 = 4 ✓
- 8:3 hat den Rest 2, kein Teiler
- 8:4 = 2 ✓
- 8:5 hat den Rest 3, kein Teiler
- 8:6 hat den Rest 2, kein Teiler
- 8:7 hat den Rest 1, kein Teiler
- 8:8 = 1 ✓
Dass die Definition von Teiler sowohl über Plusketten (Summen) als auch über die Divison klappt kommt von der engen Verwandtschaft der Addition und der Division. Mit der Division als Umkehrrechnung der Multiplikation fragt man ja eigentlich nach der Anzahl von gleich großen Teiler einer gegeben Zahl, also eigentlich nach der Anzahl oder der Größe einzelner Summanden (Summand = Zahl in einer Pluskette). Hier kommen nun noch einige Eigenschaften von Teilern einer Zahl.
- Teiler gibt es nur für ganze oder natürliche Zahlen.
- Ein Teiler selbst ist eine ganze oder eine natürliche Zahl.
- Teiler einer Zahl z stecken immer ohne Rest in z.
- Eine Zahl geteilt durch einen ihrer Teiler ist ein 👉 Teilen ohne Rest
- Jede Zahl hat als "triviale Teiler" [3] immer sich selbst und auch die 1.
- Eine Zahl mit genau zwei unterschiedlichen Teilern ist eine 👉 Primzahl
Teiler als Teilermenge
- Teiler als Mehrzahl meint die Teiler einer Zahl.
- Die Teiler von der 8 sind 1; 2; 4 und die 8 selbst.
- Mehr dazu unter 👉 Teilermenge
Teiler als Divisor
- Jede Zahl, durch die man teilt, kann man Teiler nennen.
- Das Fremdwort für Teiler ist "Divisor".
- Bei 8:4 wäre die 4 der Teiler oder Divisor.
- (Die 8 nennt man Dividend.)
- Mehr unter 👉 Teiler als Divisor
Fußnoten
- [1] Teiler. In: Spektrum Lexikon der Mathematik. Dezember 2021. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/teiler/10269
- [2] Teiler in einem Lexikon aus dem Jahr 1910, mathematisch: "Teil, aliquoter, in der Arithmetik ein Divisor, durch welchen das Ganze ohne Rest teilbar ist. Jeder andre Teil, mit welchem ein Ganzes nicht ohne Rest teilbar ist, heißt aliquanter Teil. So sind z.B. 2, 3, 4, 6 aliquote, 5, 7, 8, 9 aliquante Teile von 12." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 429. Online: http://www.zeno.org/nid/20006139159
Siehe auch
Fußnoten
- [1] Teiler. In: Spektrum Lexikon der Mathematik. Dezember 2021. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/teiler/10269
- [2] Teiler in einem Lexikon aus dem Jahr 1910, mathematisch: "Teil, aliquoter, in der Arithmetik ein Divisor, durch welchen das Ganze ohne Rest teilbar ist. Jeder andre Teil, mit welchem ein Ganzes nicht ohne Rest teilbar ist, heißt aliquanter Teil. So sind z.B. 2, 3, 4, 6 aliquote, 5, 7, 8, 9 aliquante Teile von 12." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 429. Online: http://www.zeno.org/nid/20006139159
- [3] Wolfang Crayaufmüller: Primzahlfamilien. Selbstverlag. 1995. ISBN: 3-9801032-2-6. Dort im Kapitel "Zahlenfamilien", Seite 7. Siehe auch
- [4] "Die Teiler, die jede Zahl n hat, nämlich 1 und n heißen triviale Teiler." In: Wolfang Crayaufmüller: Primzahlfamilien. Selbstverlag. 1995. ISBN: 3-9801032-2-6. Dort im Kapitel "Zahlenfamilien", Seite 7. Siehe auch