Scheitelpunktform in Faktorisierte Form
Schritt-für-Schritt
Basiswissen
Man hat die Scheitelpunktform f(x) = a·(x-d)²+e einer quadratischen Funktion gegeben. Diese soll ummgewandelt werden in die faktorisierte Form f(x) = a·(x-b)·(x-c)
Gegeben? Gesucht?
- SPF gegeben: f(x) = a(x-d)² + e
- FF gesucht: f(x) = a·(x-b)(x-c)
Achtung mit dem a
- Achtung: das a aus der SPF ist nicht automatisch auch das a aus der FF.
- Die beiden a-Werte können unterschiedlich sein.
Was ist der Lösungsweg?
- Es gibt unterschiedliche Lösungswege.
- Ein Lösungsweg, der immer funktioniert, ist hier nur grob skizziert.
- Die Idee ist: erst die Nullstellen bestimmen, und ...
- dann damit die faktorisierte Form aufstellen.
Lösungsbeispiel
- f(x) = 2·(x-2)² - 50
1. Schritt
- Man löst zuerst die Klammer auf.
- Dazu nimmt man die zweite binomische Formel:
- (x-2)² mit der zweiten binomischen Formel: x²-4x+4
- Die aufgelöste Klammer schreibt man in eine große eckige Klammer:
- f(x) = 2·[x²-4x+4] - 50
- Jetzt multipliziert man die eckige Klammer aus:
- f(x) = 2x² - 8x + 8 - 50
- Am Ende fasst man zusammen:
- f(x) = 2x² - 8x - 42
2. Schritt
- Leitkoeffizient ausklammern:
- Die Zahl vor dem x² heißt Leitkoeffizient ↗
- Steht dort eine andere Zahl als 1, klammert man diese erst aus:
- Man schreibt zunächst die Zahl vor eine große eckige Klammer:
- f(x) = 2[ ... ]
- Dann teilt man die rechte Seite der Funktionsgleichung durch diese Zahl.
- Das Ergebnis schreibt man in die eckige Klammer:
- f(x) = 2·[x² - 4x - 21]
3. Schritt
- pq-Formel:
- Jezt betrachte man nur den Teil in der eckigen Klammer.
- Dafür sucht man die Nulltellen.
- Man erhält die zwei Nullstellen:
- x = -3 und x = 7
4. Schritt
- Nullstellen in Bauplan einsetzen:
- Der Bauplan für die FF war: f(x) = a·(x-b)·(x-c)
- Das kleine a ist der in Schritt 2 ausgeklammerte Leitkoeffizient:
- Als Zwischenergebnis hat man: f(x) = 2·(x-b)·(x-c)
- Dann setzt man die Nullstellen für b und c ein.
- Dabei werden die Vorzeichen mit eingesetzt.
- Man setzt ein: f(x) = 2·(x-(-3))·(x-(7))
- Minus mal minus gibt plus, also:
- f(x) = 2·(x+3)·(x-7)
5. Schritt
- Am Ende macht man eine Probe.
- Man multipliziert die zwei Klammern der faktorisierten Form aus:
- Das geschieht nach dem Rechengesetzt für (a+b)(c+d) ↗
- f(x) = 2·(x+3)·(x-7) wird zu:
- f(x) = 2[x² - 7x + 3x + 21]
- f(x) = 2x² - 8x + 42 ✔