Basiswissen

Jedes flache Viereck mit genau vier 90°-Grad Winkeln im Inneren ist ein Rechteck. Rechtecke sind immer flach. Das heißt, sie sind keine Körper. Ein Rechteck kann länger als breiter sein, muss es aber nicht. Nach der heutigen Definition ist damit auch jedes Quadrat immer auch ein Rechteck.^[1] Die Längen der Rechteckseiten bezeichnet man oft mit l und b (Länge und Breite) oder auch a und b. Die Fläche bezeichnet man mit einem A.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht ein typisches Rechteck: ein Viereck mit vier 90°-Winkeln im Inneren. Da nicht alle vier Seiten gleich lang sind, ist dieses Rechteck gleichzeitig auch noch ein sogenanntes Oblong.☛

Definition

Ein Rechteck ist immer flach.

Ein Rechteck hat immer vier Ecken.

Die Ecken sind mit vier geraden Linien verbunden.

An jeder Ecke ist innen ein 90-Grad-Winkel.

Ein 90-Grad-Winkel heißt auch "Rechter Winkel".

Von den rechten Winkeln kommt der Name "Rechteck".

Sonderfall Quadrat

Das Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.^[1] In älteren Definitionen unterschied man noch das Quadrat von einem Rechteck mit unterschiedlich langen Seiten. Heute ist das Quadrat nur noch ein Sonderfall des Rechtecks. Siehe mehr unter 👉 Quadrat

Sonderfall Oblong

Ein Rechteck mit unterschiedlich langen Seiten wird in der Umgangsprache gelegentlich als "echtes Rechteck" umschrieben. Das Fachwort für ein Rechteck mit unterschliedlich langen Seiten ist 👉 Oblong

Gegenbeispiel Quader

Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper von der Form einer Kiste. Ein Quader hat 8 Ecken und ist somit ganz sicher auch kein Viereck. Der Quader hat 6 Seitenflächen (wie ein Würfel) und 12 Kanten.

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Wie bei einem Viereck treffen auch bei einem Quader die Kanten alle mit 90° auf ihren Innenwinkeln aufeinander. Siehe auch 👉 Quader

Ein Quader ist kein Rechteck, denn ein Rechteck muss immer flach sein. Die innere Verwandtschaft der Quader mit den Rechtecken kommt daher, dass bei beiden Figuren die begrenzenden Inien (Rechteck) und Seiten (Quader) senkrecht aufeinander stehen, also immer rechte Winkel bilden. Salopp gesagt, könnte man von einem Quader als eine Art 3D-Rechteck sprechen. Siehe auch 👉 Quader

Gegenbeispiel Tetraeder

Der Tetraeder ist ein dreidimensionaler Körper mit genau vier Ecken. Tetraeder sind sozusagen Pyramiden mit einer dreieckigen Grundfläche und nur flachen Seiten als Begrenzung. Damit hat ein Tetraeder genau vier Begrenzungsflächen. Die vier Begrenzungsflächen geben dem Tetraeder auch seinen Namen: Tetra = vier und Eder = Flächner. Ein Tetraeder ist auf Deutsch ein Vierflach oder Vierflächner.^[2]

Ein Tetraeder hat vier Ecken, ist aber dennoch kein Viereck im Sinne der Geometrie. Siehe auch 👉 Tetraeder

Doch obwohl ein Tetraeder genau vier Ecken hat, bezeichnet man es nicht als Viereck. Dreieck, Vierecke, Fünfecke und so weiter stehen immer nur für zweidimensionale, flache Figuren. Die zweidimensionalen Figuren nennt man Polygone (Vielecke) und benennt sie nach der Anzahl der Ecken. Die dreidimensionalen Figuren nennt man Polyeder (Vielflächner) und benennt sie nach der Anzahl der Seitenflächen.

Formeln

Die häufigsten Formeln im Zusammenhang mit Rechtecken sind die Formeln für den Umfang und für den Flächeninhalt. Der Umfang ist die Strecke der Umrandung, also die Summe der vier Randstriche. Und der Flächeninhalt gibt an, wie wie viel Fläche eine der zwei Seiten des Rechtecks hat.

Formeln

U = a+a+b+b

A = a·b

Mit

U = der 👉 Rechteckumfang

A = die 👉 Rechteckfläche

a = die Länge einer Seite

b = die Länge einer zu a benachbarten Seite

Vierteilungsrätsel

Vierteilen und Vierteln

Zeichnet man in irgendein beliebiges Rechteck seine zwei Diagonalen ein, dann hat man das Rechteck auf jeden Fall gevierteilt. Vierteilen heißt, etwas in vier Teile zu zerlegen, egal wie groß die Teile sind. Sollen alle Teile gleich groß sein, würde man es Vierteln nennen. Die zwei Diagonalen haben das Rechteck also auf jeden Fall gevierteilt. Dass zwei gegenüberliegende Dreiecke gleich groß sind, leuchtet dabei sofort ein. Aber sind auch zwei benachbarte Dreiecke gleich groß? Haben die zwei Diagonalen das Rechteck also nicht nur gevierteilt sondern auch geviertelt?

Praktische Lösung

Eine Möglichkeit hin zu einer Antwort wäre es ein entsprechendes Rechteck aus Papper auszuschneiden und dieses dann mit einer Schere an den Diagonalen zu vierteilen. Wenn die Dreiecke von ihrer Fläche her gleich groß sind, dann müssten sie auch in etwa gleich schwer sein. Das kann man mit einer Waage ganz einfach praktisch überprüfen.

Rechnerische Lösung

Ein zweiter Lösungsansatz wäre es, Terme zur Berechnung der Dreiecksflächen aufzustellen. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produktes aus einer seiner Seitenlängen und der darauf stehenden Dreickshöhe.^[3] Nehmen wir gedanklich ein Rechteck, dass von links nach rechts deutlich länger ist als es von unten nach auf einem Blatt Papier gezeichnet hoch ist. Nennen wir die lange waagrechte Seite oben a und die kleinere senkrechte Seite links b. Dann kann man für das Dreieck links und das Dreieck oben die Formel für die Dreiecksfläche mit Hilfe der Seitenlängen des Rechtecks angeben.

Dreiecksfläche links: ½·b·a

Dreiecksfläche oben: ½·a·b

RANDNOTIZ [Beweis über Kommutativgesetz] Im Dreieck links spielt die Rechteckseite b die Rolle der Grundlinie und die Rechteckseite a die Rolle der Höhe. Im Dreieck oben spielt die Rechteckseite a die Rolle der Grundlinie und die Rechteckseite b die Rolle der Höhe. Nach dem Kommutativgesetz ist a·b vom Ergebenis her dasselbe wie b·a. Damit sind aber auch die Flächeninhalte der zwei Dreiecke gleich groß.

Merksatz:

Zerlegt man ein Rechteck mit seinen zwei Diagonalen in insgesamt genau vier Dreiecke, dann sind die vier Dreiecke von ihrem Flächeninhalt her genau gleich groß.

Fußnoten

[1] Schon 1793 war auch schon ein Quadrat ein Rechteck: "Das Rêchtêck, des -es, plur. die -e, in der Geometrie, eine vierseitige Figur, welche lauter rechte Winkel hat. In engerer und gewöhnlicherer Bedeutung, eine solche Figur dieser Art, wo zwar alle Winkel rechte Winkel, aber nur die entgegen stehenden Seiten einander gleich sind, Rectangulum, Oblongum; im Gegensatze eines Quadrates, welches in der erstern weitern Bedeutung auch ein Rechteck seyn würde." In: Adelung, Grammatisch-kritisches Wörterbuch der Hochdeutschen Mundart, Band 3. Leipzig 1798, S. 1003-1004. Online: http://www.zeno.org/nid/20000375454

[2] Vierflächner: "Tetraëder (griech., »Vierflächner«), im weitern Sinne jede dreiseitige Pyramide; im engern Sinne eine von vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken begrenzte Pyramide mit vier gleichen dreiseitigen Ecken und vier gleichlangen Kanten, einer der fünf regelmäßigen Körper (s. Polyeder); in letzterm Sinne tritt das T. in der Kristallographie als hemiëdrische Form des (regulären) Oktaeders auf; s. Kristall, S. 705." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 19. Leipzig 1909, S. 441. Online: http://www.zeno.org/nid/2000757603X

[3] A = ½·g·h ist eine Art, wie man die Formel für die Dreiecksfläche angeben kann. Man spricht: ein halb mal Grundlinie mal Höhe (über der Grundlinie). Was die Höhe meint und wie man damit die Fläche ausrechnet ist ausführlich erklärt im Artikel zur 👉 Dreiecksfläche