Quadermantelfläche
Berechnung
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Basiswissen
Denkt man sich einen Quader aufrecht stehend vor, dann meint die Mantelfläche M die Summe aller senkrechten Flächen die von unten nach oben gehen. Die Grundfläche und die Deckfläche gehören nicht mit zur Mantelfläche. Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man also die Flächen von insgesamt vier Rechtecken aufaddieren.
Definition
Ein Quader ist einfach gesagt eine rechteckige Kiste. Die Außenflächen sind immer Rechtecke. Zwei sich gegenüber liegende Rechtecke von einem Quader sind immer gleich groß. Aber zwei benachbarte Rechteckseiten dürfen auch verschieden groß sein.
Ein Quader ist so etwas wie eine Rechteckkiste. Es gibt immer 6 Seiten, auch Flächen genannt. Jede Seite hat ihr gegenüber eine gleich große und ihr auch parallel Seite. Die Seiten bei einem Quader dürfen gleich groß sein, müssen es aber nicht. Es kann in einem Quader bis zu drei verschiedene Seitenflächengrößen geben.
Damit kann man sich zum Beispiel dünne schmale Quader denken. Ein sogenanntes Kantholz, ein Balken mit rechteckigen Querschnitt wäre dafür ein Beispiel. Ein Quader kann aber auch flach sein wie eine Streichholzkiste. Was genau die Mantelfläche eines Quaders ist, hängt dann davon ab, auf welche seiner 6 Seiten als Grundfläche man den Quader stellt. Welche dieser Seiten die Grundfläche ist, ist entweder über eine Aufgabenstellung vorgegeben. Oder man kann es selbst entscheiden.
- Die Mantelfläche eines Quaders besteht immer aus vier Rechtecken.
- Die Grundfläche (unten) und die Deckfläche (oben) gehören nicht mit zur Mantelfläche.
- Auf welche Seite als Grundfläche man den Quader stellt, muss entschieden werden.
- Die Mantelfläche besteht dann immer aus den vier senkrechten Seitenflächen.
Da man also den Quader auf drei möglicherweise unterschiedlich große Grundflächen stellen kann, kann er auch drei unterschiedliche große Mantelflächen haben. Keine dieser drei Ergebnisse ist dann "die wirkliche" oder die "eine echte" Mantelfläche. Es hängt nur von der Fragestellung ab, wie man den Quader sinnvoll gedanklich auf einen Tisch stellen würde.
Berechnung
Hat man den Quader gedanklich auf eine seine 6 Seiten gestellt (oft ist das vorgegeben), dann kann man die Längen der Seiten mit a, b und c oder auch mit a, b und h bezeichnen. Das sind die üblichen Formelzeichen. Die Kleinbuchstaben a und b stehen dann für die Länge und die Breite der rechteckigen Grundfläche. Das c oder alternativ das h steht für die Höhe des Quaders, also für die Länge der Kante, die senkrecht von unten nach oben geht. Mit diesen Angaben kann man jetzt eine von mehreren möglichen Formeln benutzen, um die Mantelfläche zu berechnen. Jede der Formeln führt immer auch zum selben Ergebnis.
Formeln
- M = a·h+b·h+a·h+b·h
- M = 2·(a·h+b·h)
- M = (a+b+a+b)·h
- M = 2·(a+b)·h
Legende
- M = die Mantelfläche des Quaders
- a = die Länge der Grundfläche
- b = die Breite der Grundfläche
- h = oft auch c, die Höhe des Quaders
- · = ein 👉 Malzeichen
Durch Termumformungen oder indem man für a, b und h Zahlen einsetzt, kann man überprüfen, ob die Formeln wirklich immer auch dieselben Ergebnisse liefer. Falls ja, kann man sie als gleichwertig oder äquivalent bezeichnen. Der Grund dafür, dann man so viele verschieden Schreibweisen sinnvoll angeben kann ist, dass man sich anschaulich geometrisch die Mantelfläche auf verschiedene Weisen denken kann.
Rechenbeispiel
Angenommen ein langer schmaler Quader steht mit seiner kleinen Grundfläche senkrecht auf dem Tisch. Die Grundfläche hat eine Länge von a = 3 cm und eine Breite von b = 2 cm. Die Höhe soll c = 7 cm sein:
- a = 3
- b = 2
- c = 7
Die gegebenen Zahlen werden der Reihe nach in jede der Formeln oben eingesetzt. Es müsste theoretisch auch immer dieselbe Mantelfläche als Ergebnis heraus kommen.
- M = a·h+b·h+a·h+b·h -> einsetzen -> 3·7+2·7+3·7+2·7 -> 70 cm² ✓
- M = 2·(a·h+b·h) -> einsetzen -> 2·(3·7+2·7) -> 70 cm² ✓
- M = (a+b+a+b)·h -> einsetzen -> (3+2+3+2)·7 -> 70 cm² ✓
- M = 2·(a+b)·h -> einsetzen -> 2·(3+2)·7 -> 70 cm² ✓
Welche der Formeln man wählt ist also vom Ergebnis mehr egal. Man sucht sich die Formel aus, die man sich am einfachsten merken kann oder mit der man am bequemsten rechnen kann.