Mantelfläche
Definition
© 2016
- 2026
Basiswissen
Die Fläche vom Boden bis zur Spitze oder bis zum Deckel eines 3D-Körper nennt man die Mantelfläche. Mantelflächen kommen zum Beispiel bei Zylindern, Quadern, Kegeln oder Pyramiden vor. Die übliche Abkürzung ist ein großer lateinischer Buchstabe M. Die Grundidee ist es immer, nur die Flächen eines Körpers zu betrachten, die an seinem Rand von unten nach oben führen. Anschaulich gesprochen könnte man die Mantelfläche sinngemäß auch als Umfangsfläche bezeichnen (was aber unüblich ist).
Beispiele
Würfel
Bei einem Würfel setzt sich die Mantelfläche aus 4 seiner insgesamt 6 Flächen zusammen. Wenn man einen Würfel auf einen Tisch stellt, dann ist die Mantelfläche die gesamte Fläche aller senkrechten Seiten, also sozusagen der Rand des Würfels.
Egal wie man einen Würfel auf einen Tisch stellt: die Mantelfläche ist immer gleich groß. Sie besteht immer aus den vier senkrecht von unten nach oben verlaufenden Seiten.
Die Kanten eines Würfels sind alle gleich lang. Man kürzt die Länge einer Kante eines Würfels oft mit einem kleinen a ab. Wenn ein Würfel eine Kantenlänge a von zum Beispiel 5 Zentimetern hat, dann ist jede der 6 Seiten vom Flächeninhalt 25 cm² groß. (Als Term geschrieben hätte jede Würfelseite einen Flächeninhalt von a².) Die Mantelfläche ist dann von der Größe her 4·25 cm², also 100 cm² groß. Siehe mehr unter 👉 Würfelmantelfläche
Quader
Ein Quader ist anschaulich gesagt eine rechteckige Kiste. Auch ein Würfel gehört dazu. Aber während bei einem Würfel alle Kanten gleich lang sein müssen, dürfen sie bei einem Quader auch unterschiedlich lang sein. Eine Streichholzschachtel, eine Umzugskiste oder ein Container sind typische Beispiele. Ein Quader kann drei verschiedene Kantenlängen haben. Man kürzt sie oft ab mit a, b und.
Einen Quader kann man auf drei verschiedene Weisen auf einen Tisch stellen. Und jedes Mal kann man eine andere Mantelfläche erhalten. Die Mantelfläche eines Quaders ist nicht eindeutig, sondern dreideutig.
Nun tritt ein interessanter Aspekt auf: man kann eine Streichholzschachtel, ein typischer Quader, mit ihrer ganz großen Seite nach unten auf den Tisch legen. Man kann sie aber auch mit ihrer kleinsten Seite oder der mittelgroßen Längsseite nach unten auf den Tisch stellen. In allen drei Fällen wird man eine eigene, von den anderen zwei Fällen verschiedene Mantelfläche erhalten. Ähnlich wie es bei Dreiecken nicht "die eine Höhe" sondern drei verschiedene mögliche Höhen gibt, gibt es bei Quadern auch drei möglicherweise verschiedene Mantelflächen. Immer aber setzt sich die Mantelfläche aus den vier Rechtecken zusammen, die von der Grundfläche zur Deckfläche gehen. Siehe mehr unter 👉 Quadermantelfläche
Pyramide
Bei der Pyramide ist die Mantelfläche wieder eindeutig. Eine Pyramide hat nur eine Grundfläche, auf die man sie sinnvoll stellen würde. Es würde wenig Sinn machen, eine Pyramide auf ihre Spitze oder auf eine ihrer dreieckigen Seitenflächen zu stellen.
Bei einer Pyramide gibt es nur eine sinnvolle Grundfläche. Sie gehört aber nicht mit zur Mantelfläche. Die Mantelfläche besteht nur aus den schräg verlaufenden Seiten.
Die Mantelfläche einer Pyramide besteht dann aus den dreieckigen Flächen, die schräg von der Grundfläche unten zur Spitze nach oben gehen. Um die Mantelfläche einer Pyramide zu berechnen, muss man also die Flächeninhalte von mehreren Dreiecken aufaddieren. Das ist näher erklärt im Artikel zur 👉 Pyramidenmantelfläche
Prisma
Auch beim Prisma ist die Mantelfläche eindeutig. Und sie ist einfach zu berechnen, da man nur Rechteckflächen (Länge mal Breite) berechnen muss.
Bei einem Prisma gibt es immer genau zwei Flächen, die zueinander parallel sind. Eine dieser Flächen, egal welche, macht man gedanklich zur Grundfläche. Das ist die Grundidee um die Mantelfläche zu erkennen.
Ein Prisma hat immer zwei eckige Flächen, gleich groß und zueinander parallel sind. Diese zwei zueinander parallele Flächen sind die Grund- und die Deckfläche. Man stellt das Prisma also gedanklich auf eine dieser zwei Flächen. Dann sieht man mehrere Rechteckflächen, die von der Grundfläche unten zur Deckfläche oben gehen. Die Mantelfläche ist dann die Summe aller dieser rechteckigen und senkrecht verlaufenden Teilflächen. Siehe mehr unter 👉 Prismenmantelfläche
Zylinder
Auch beim Zylinder ist die Mantelfläche eindeutig. Man stellt ihn sinnvoll nur mit einer seiner zwei Kreisflächen auf den Boden.
Ein Zylinder hat immer zwei zueinander parallel Kreisflächen. Die eine dieser Flächen macht man dann zur Grundfläche, die andere ist automatisch dann die Deckfläche.
Und wie beim Würfel, Quader oder Prisma ist auch beim Zylinder die Mantelfläche wieder die ganze Fläche, die von der Grundfläche hin zur Deckfläche führt. Würde man den Zylinder von oben nach unten mit einem senkrecht verlaufenden Scherenschnitt aufschneiden, könnte man die Mantelfläche gedanklich zu einem Rechteck ausrollen. Das ist auch die Grundidee zur Berechnen des Flächeninhalts. Die eine Seite des Rechtecks ist so lang wie der Zylinder hoch ist, kurz h; und die andere Seite ist so lang wie der Zylinderumfang. Und der Zylinderumfang ist der Umfang der Kreisfläche am Boden, also 2·pi·r groß. Pi steht für die Kreiszahl und ist immer gleich groß. Gerundet ist pi etwa 3,14. Damit ist die Formel für die Mantelfläche eines Zylinder einfach: M = 2·pi·r·h. Siehe mehr unter 👉 Zylindermantelfläche
Kegel
Ein Kegel ist anschaulich gesprochen wie ein spitzer Zylinder oder eine rundliche Pyramide. Der Kegel hat eine kreisförmige Fläche die dann immer auch die Grundfläche ist.
Beim Kegel ist die Mantelfläche die Fläche von der Grundfläche hin zur Spitze, genau so wie auch bei einer Pyramide.
Die Formel für die Mantelfläche M eines Kegels ist einfach: M = pi·r·s. Pi ist wieder die Kreiszahl, etwa 3,14. Das kleine r steht für den Radius der kreisförmigen Grundfläche. Und das kleine s ist die Kegelmantellinie: eine gerade Strecke von irgendeinem Punkt der Kreislinie unten bis hin zur Spitze oben. Siehe mehr unter 👉 Kegelmantelfläche