Gleichsetzungsverfahren

LGS

Basiswissen｜ Wozu ist das Verfahren gut?｜ Ausführliche Erklärung｜ 0. Hinschreiben｜ 1. Gleichsetzen｜ 2. Nach x auflösen｜ 3. y bestimmen｜ 4. Antwort｜ Gibt es alternative Verfahren?

Basiswissen

LGS heißt Lineares Gleichungssystem. Ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann man oft gut über das sogenannte Gleichsetzungsverfahren lösen. Damit kann man zum Beispiel den Schnittpunkt von zwei Geraden rechnerisch bestimmen. Das ist hier mit einem Beispiel kurz erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — y=2x+6 und 15=x+y☛

Wozu ist das Verfahren gut?

Der Sinn des Gleichsetzungsverfahren ist es, eine Lösung für zwei oder mehr Gleichungen zu finden, die auf alle diese Gleichungen gleichzeitig passt. Was das bedeutet, versteht man am besten mit einemeinfachem Beispiel. Nehmen wir eine simple lineare Gleichung mit den zwei Unbekannten x und y.

x+y = 10

Die Gleichung hat zwei Unbekannte. Man könnte für x die 4 und für y die 1 einsetzen. Dann käme auf der linken Seite der Gleichung 5 heraus. Da aber 5 nicht gleich 10 gibt, sind 4 und 1 zusammen keine Lösung der Gleichung. Hier sind einige Zahlenpaare, die eine Lösung ergeben:

x=1 und y=9

x=2 und y=8

x=3 und y=7

x=4 und y=6

x=9 und y=1

Und dazwischen gibt es noch Lösungen wie x=2,5 und y=7,5 oder auch x=-5 und y=15. Man sieht, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Nehmen wir eine zweite, andere Gleichung:

x+2y=16

Hier sind wieder unendlich viele Lösungen möglich. Einige davon sind zum Beispiel:

x=0 und y=8

x=2 und y=7

x=4 und y=6

x=8 und y=4

Nun gibt es eine Lösung, die auf beide Gleichungen passt. Es ist: x=4 und y=6. Das Ziel des Gleichsetzungsverfahrens ist es, diese gemeinsame Lösung, die auf beide Gleichungen passt, nicht durch Probieren zu finden. Man will vielmehr einen Rechenweg haben, der immer funktioniert und immer zur richtigen Lösung führt. Genau das macht das Gleichsetzungsverfahren.

Ausführliche Erklärung

Vorab: manchmal sind die Gleichungen mit y geschrieben, manchmal mit f(x).

Beides meint hier dasselbe. Statt f(x) steht auf dieser Seite immer y.

Zuerst muss man beide Gleichungen nach y umstellen.

Man muss sie also so umformen, dass y links alleine steht.

15=x+y ist noch nicht nach y umgestellt.

Umstellen nach y ergäbe zum Beispiel: y=15-x

Dann schreibt man die beiden Gleichungen hin:

Sind beide Gleichungen nach y umgestellt, dann …

kann man mit dem Lösen anfangen:

0. Hinschreiben

Erste Gleichung: y=15-x

Zweite Gleichung: y=2x+6

1. Gleichsetzen

Schreibe die rechte Seite von der ersten Gleichung hin.

Die rechte Seite meint: alles was rechts vom Gleichzeichen steht.

dann kommt rechts daneben das Gleichzeichen …

und dann die rechte Seite von der zweiten Gleichung:

15-x = 2x+6

2. Nach x auflösen

15-x = 2x+6 | -2x

15-3x = 6 | -15

-3x = -9 | :(-3)

x = 3

3. y bestimmen

Man nimmt dann die gefundene Zahl für x …

und setzt sie in eine der beiden Gleichungen vom Anfang für x ein.

(welche der beiden Anfangsgleichungen man nimmt ist egal.)

Damit rechnet man dann aus, was für y rauskäme.

Das ist der y-Wert der Lösung:

y = 2·(3)+6
y = 12

4. Antwort

Man schreibt die Antwort auf:

Setzt man für x die 3 und y die 12 ein, dann …

gehen damit beide Gleichung auf.

Lösung des LGS: (3|12)

Gibt es alternative Verfahren?

Ja, und zwar das Einsetzungs-, das Additions- und das Subtraktionsverfahren sowie den Gauß-Algorithmus. Lies dazu unter 👉 LGS lösen