Basiswissen

Zwei vorher getrennt betrachtete Terme werden mit einem Gleichheitszeichen verbunden. Durch das Gleichsetzen entsteht immer eine neue Gleichung. Diese kann man dann oft auch direkt lösen. Das nennt man Gleichsetzen. Das Gleichsetzen ist hilfreich beim Lösen von Gleichungssystemen.

Terme direkt gleichsetzen

Indem man zwei Terme gleichsetzt, behaupt oder fordert man, dass für beide Terme am Ende, wenn man sie bis auf einen Zahlenwert ausrechnet, dieselbe Zahl herauskommt. Enthalten die Terme Unbekannte oder Variablen, oft ein x, dann zwingt man sozusagen das x dazu, eine Zahl zu werden, die für beide Terme den gleichen Wert ergibt.

Erster Term: 4x+3

Zweiter Term: 7x-12

Gleichsetzen: 4x+3=7x-12

Für den ersten Term, die 4x+3, könnte man theoretisch jede beliebige Zahl für das x einsetzen. Wenn man in 4x+3 zum Beispiel für das x die 2 einsetzt, erhählt man den Termwert 11. Aber man könnte auch die 5 einsetzen und erhält dann den Termwert 23.

Für den zweiten Term, die 7x-12, könnte man genau so gut für das x einmal die 2 und einmal die 5 einsetzen. Man bekäme dann als Termwerte 2 und 23 heraus.

Man sieht, dass man in jeden Term beliebig Zahlen einsetzen kann. Oft will man aber eine einzige Zahl haben, die man in beide Terme einsetzen kann und zwar so, dass dann beide Terme ausgerechnet auch denselben Wert ergeben. Genau diese Zahl findet man über das Gleichsetzen.

Nach dem Gleichsetzen hat man die Gleichung 4x+3 = 7x-12. Diese Gleichung kann man jetzt lösen. Eine häufig genutzte Methode sind die Äquivalenzumformungen:

4x+3 = 7x-12 | -3

4x = 7x-15 | -7x

-3x = -15 | :(-3)

x = 5

Das Ergebnis sagt jetzt also, wenn man für x die 5 einsetzt, dann kommt für beide Terme auch derselbe Wert heraus, wenn man sie ausrechnet. Die Probe zeigt, dass das auch stimmt:

T(5) für 4x+3 -> 4·5+3 = 23 ✓

T(5) für 7x-15 -> 35-12 = 23 ✓

Gleichsetzen über

Oft setzt man auch zwei Seiten von zwei Gleichungen gleich. Jede Seite einer Gleichung ist wiederum ein Term, sodass es eigentlich wieder ein Gleichsetzen von Termen ist. Die Besonderheit ist nur, dass man am Anfang zwei Gleichungen und nicht nur zwei Terme gegeben hat. Haben beide Gleichungen auf einer ihrer Seiten denselben Term stehen, dann kann man die zwei anderen Terme, die auf der anderen Seite stehen, gleich setzen:

Man kann auch zwei Gleichungen gleichsetzen:

Gleichung I: y = 4x+5

Gleichung II: y = 2x-3

Gleichsetzen über y: 4x+5=2x-3

Mehr unter gleichsetzen über ↗

Eine folgenreiche Gleichsetzung

In der Zeit von 1900 bis 1905 sind von Albert Einstein, unter anderem aufbauend auf Ideen von Max Plancks, Gedanken in die Welt gesetzt worden, die später zu den kompakten Formeln E=hf^[1] und E=mc²^[2] führten:

E = h·f

E = m·c²

Bei beiden Formeln steht das große E für eine Menge an Energie. Aber gemeint sind sehr unterschiedliche Arten von Energien. Bei der ersten Formel ist es die Energie eines hypothetischen Teilchens des Lichts, eines sogenannten Photons. Bei der zweiten Formel steht das E für eine gedachte Äquivalenzenergie im Sinne von Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Eine physikalisch sinnvolle Verbindung der zwei Arten von Energie ist zunächst nicht nahe liegend. Aber mathematisch kann man die zwei Terme jetzt gleichsetzen und dann umformen nach zum Beispiel m:

E=h·f und E=m·c² | gleichsetzen

h·f = m·c² | umstellen nach m

m=h·f/c²

Mathematisch ist das völlig korrekt. Interessant ist, dass man durch diese Gleichsetzung zwei Gedankenwelten, zwei physikalische Modelle miteinander verbindet, die eigentlich getrennt bleiben sollten: die des masselosen Lichts und die der massebehafteten Körper. Man kann jetzt also fragen, was der physikalische Gehalt, der Sinn oder die Bedeutung der Formel m = h·f/c² sein soll:

m=h·f/c²

Eine mögliche Deutung: die Masse m eines Lichtteilchens, eines Photons, dem eine Frequenz f für eine Schwingung zugeordnet ist, kann man berechnen, indem man die Planck-Konstante h mit dieser Frequenz f multipliziert und dieses Zwischenergebnis durch das Quadrat der Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum teilt. Heißt das dann, dass Lichtteilchen doch eine Masse haben? Müsste man sie dann auf einer Waage wiegen können? Würden sie dann auf die Gravitationskraft reagieren oder selbst Quelle einer solchen Kraft sein? Hätten sie Trägheit im Sinne von Newton, bräuchten also Zeit und Kraft, um ihre Geschwindigkeit oder Richtung zu ändern? Solche Frage wurden bereits im Jahr 1905 gestellt.^[3] Der Versuch einer Antwort führte letztendlich zu einer damals völlig neuen Physik. Siehe mehr dazu unter Lichtmasse ↗

Fußnoten

[1] E=hf besagt, dass die Energie eines Photons, eines gedachten Teilches des Licht, gleich einer immer gleich großen Zahl h und der Frequenz f ist, die dem Photon zugeschrieben wird. Das große E steht hier also ganz ausdrücklich für die Energie eines einzelnen Lichtteilchen. Die gedanklichen Grundlagen für diese Formel findet man in: Albert Einstein Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. In: Annalen der Physik. Band 322, Nr. 6, 1905, S. 133. Online: https://upload.wikimedia.org/wikisource/en/3/3d/Über_einen_die_Erzeugung_und_Verwandlung_des_Lichtes_betreffenden_heuristischen_Gesichtspunkt.pdf

[2] E=mc² besagt, dass ein Körper mit der Masse m in der speziellen Relativitätstheorie mit der Energie E gleichwertig ist, die sich aus dem Produkt der Masse m und dem Quadrat c² der Vakuumlichtgeschwindigkeit c ergibt. Das E steht hier für ein Energieäquivalent eines Körpers mit Masse.

[3] Ob Licht so etwas wie Trägheit haben oder vermitteln könnte, untersuchte Albert Einstein schon im Jahr 1905: Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 18, Heft 13, S. 639–641. Siehe auch Lichtmasse ↗