Erwartungswert über Baumdiagramm

Anleitung

Basiswissen

Was meint Erwartungswert?

• Das ist die Ergebniszahl, die am ehesten im Schnitt käme.
  

• Und zwar bei gedanklich unendlich vielen Versuchen.
  

Was wäre ein Baumdiagramm?

• Bei einem Baumdiagramm stellt man alle Versuchswege über Pfade dar.
  

• Jeder mögliche Versuchsablauf ist durch einen Pfad dargestellt.
  

• Für jeden ganzen Pfad kann man eine Wahrscheinlichkeit berechnen.
  

• Diese Wahrscheinlichkeit schreibt man an den Ausgang des Pfades.
  

• Wie das bei einem Baumdiagramm geht steht unter Pfadregel ↗
  

Was wäre ein Beispiel für ein Baumdiagramm?

• Man würfelt mit zwei normalen Würfeln.
  

• Als Ergebnisse gilt die Summe der geworfenen Augen.
  

• Wenn man also eine 3 und eine 4 würfelt, wäre das Ergebnis die 7.
  

• Man kann insgesamt 36 Pfade unterscheiden:
  

• Der erste Pfad wäre die 1-1 mit der Ergebnissumme 2.
  

• Der zweite Pfad wäre die 1-2 mit der Ergebnissumme 3.
  

• Der dritte Pfad wäre die 1-3 mit der Ergebnissumme 4.
  

• Der vierte Pfad wäre die 1-4 mit der Ergebnissumme 5.
  

• Der fünfte Pfad wäre die 1-5 mit der Ergebnissumme 6.
  

• Der sechste Pfad wäre die 1-6 mit der Ergebnissumme 7.
  

• Der siebte Pfad wäre die 2-1 mit der Ergebnissumme 3.
  

• Der achte Pfad wäre die 2-2 mit der Ergebnissumme 4.
  

• Der neunte Pfad wäre die 2-3 mit der Ergebnissumme 5.
  

• Der zehnte Pfad wäre die 3-4 mit der Ergebnissumme 6.
  

• Der elfte Pfad wäre die 4-5 mit der Ergebnissumme 7.
  

• Der zwölfte Pfad wäre die 5-6 mit der Ergebnissumme 8.
  

• Und so weiter bis zum 36ten Pfad (6-6) mit der Ergebnissumme 12.
  

• Jeder Pfad hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
  

Wie berechnet man den Erwartungswert mü?

• Man hat ein Baumdiagramm bei dem an jedem Ausgang eine Zahl steht.
  

• Beispiel Würfeln: an den Ausgängen steht die gewürfelte Zahl.
  

• Diese Zahl, die möglicherweise als Versuchsergebnis kommt heißt auch Ergebniszahl.
  

• Man geht dann für jede Ergebniszahl den kompletten Pfand vom Anfangsknoten des Diagramms bis zur Ergebniszahl.
  

• Auf dem Weg multipliziert man wie bei der Pfadregel alle Wahrscheinlichkeiten, die unterwegs stehen.
  

• Dieses Produkt aller Teilpfadwahrscheinlichkeiten multipliziert man noch mit der dazugehörigen Ergebniszahl.
  

• Das macht man für alle Ergebniszahlen. Am Ende addiert man alle diese Produkte zu einer Summe zusammen.
  

• Das Ergebnis ist der Erwartungswert mü.
  

Was käme bei dem Beispiel oben heraus?

• Das Zahlenergebnis oben wäre die 7.
  

• Wenn man zweimal würfelt, dann kommt im Schnitt ...
  

• die Augensumme 7 heraus. Das ist der Erwartungswert.