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Harmonische Schwingung


Sinusförmig


Definition


Eine harmonische Schwingung, auch Sinusschwingung genannt, ist jede Schwingung, bei der die momentane Auslenkung des schwingenden Elementes als sinus- oder cosinusförmige Funktion der Zeit modelliert werden kann[1]. Gleichbedeutend damit ist die Definition, dass eine Schwingung dann harmonisch heißt, wenn „die Rückstellkraft der Elongation proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist, für e also ein lineares Kraftgesetz gilt[2]“. Das ist hier näher erklärt.

Schwingungen und Oszillatoren


Jede Schwingung hat immer einen sogenannten Oszialltor. Der Oszillator ist das hin und her schwingende Teilchen oder abtrakt auch Element. Die Schwingung selbst ist eine sich ständig wiederholende Bewegung um einen sogenannten Ruhepunkt. Bei einem Fadenpendel etwa ist der Oszillator das Pendel und der Ruhepunkt ist das still ruhende Pendel ohne äußere Kräfte. Schwingt das Pendel, hat es zu jedem Zeitpunkt eine Auslenkung, das heißt Entfernung von der Ruhelage.

Von der Schwingung zur Welle


Hängt man viele Fadenpendel in einer geraden Linie hintereinander auf und verbindet man die Pendel durch feine Gummibänder miteinander, tritt folgender Effekt auf: stößt man das erste Pendel an, beginnt es zu schwingen. Über das Gummibändchen nimmt es das Nachbarpendel mit, sodass dieses auch schwingt. Die Schwingung pflanzt sich so von Pendel zu Pendel entlang der Linie im Raum aus. Eine sich im Raum ausbreitende Schwingung nennt man eine Welle. Eine harmonische Schwingung die sich im Raum ausbreitet ist entsprechend eine harmonische Welle oder auch eine Sinuswelle ↗

Harmonische Schwingung


Man kann eine Funktion aufstellen, die für jeden Zeitpunkt diese Auslenkung als Funktionswert liefert. Ist diese Funktion mathematisch eine Sinusfunktion nennt man die Schwingung sinusförmig oder harmonisch[1]. Bei einer mechanischen Schwingung ist das genau dann der Fall, wenn die Rückstellkraft zu jedem Zeitpunkt proportional zur Elongation (Auslenkung) ist und immer hin zur Ruhelage zeigt[2]. Nicht jede in Wirklichkeit stattfindende Schwingung ist harmonisch aber viele Schwingungen sind zumindest näherungsweise harmonisch. Man spricht auch von einer idealisierten Betrachtung[7].

Das Weg-Zeit-Gesetz der harmonischen Schwingung



Legende



Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der harmonischen Schwingung


Die folgende Darstellung leitet die harmonische Schwingung aus einer Kreisbewegung her. Darüber kommen auch die Größen ω und φ, die zur Beschreibung einer Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit dienen. Betrachtet man von der Kreisbewegung nur den vertikalen Abstand s des Objektes auf der Kreisbahn hin zum Kreismittelpunkt, ergibt sich daraus die Formel für harmonische Schwingung[2].

Formeln



Mit:


Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz der harmonischen Schwingung



Mit:


Die harmonische Schwingung und Differentialgleichungen


Die harmonische Schwingung wird oft in Verbindung mit sogenannten Differentialgleichungen betrachtet. Die Gleichungen oben entstanden als Lösungen von einer Differentialgleichung. Als Differentialgleichung bezeichnet man eine Gleichung deren Lösungen selbst Funktionen sind und in denen die Ableitungen der gesuchten Funktion vorkommen[3]. Die Differentialgleichung für eine harmonische Schwingung ist:


Dabei steht y für den Funktionsterm einer noch unbekannten und gesuchten Funktion. Hier im Beispiel steht y für die momentane Auslenkung als Funktion der Zeit. Die Auslenkung steht damit für einen Winkel oder einen Ort. Ein ẏ stünde für die erste Ableitung dieser Funktion, ÿ steht für die zweite Ableitung der Funktion. Die Schreibweise mit Punkten über dem Buchstaben nennt man die Newton-Notation[4].

In Worten ausgedrückt sagt die Differentialgleichung: gesucht ist eine Funktion y deren zweite Ableitung proportional zu sich selbst ist. Dabei soll -D/m[5] der Proportionalitätsfaktor[6] sein.

Differentialgleichungen entstehen oft dadurch, dass man von grundlegenden Prinzipien oder Gesetzen ausgeht. Bei der harmonischen Schwingung ist ein solches Prinzip das zweite Newtonsche Gesetz, dass nämlich die von außen auf einen Körper einwirkende Kraft proportional zu seiner Beschleunigung ist. Und die Beschleunigung wiederum ist die zweite Ableitung nach dem Ort. So entsteht der Term ÿ. Der Term y(t) steht für die momentate Auslenkung. Und der Gesamtbauplan des Beispiels drückt das Hookesche Gesetz für ein Federpendel aus, dass nämlich die Kraft (ÿ) stets proportional (Faktor -D/m) zur momentanten Auslenkung (y) ist.

Fußnoten