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Hookesches Gesetz


Physik


Definition


Die gemessene Verformung eines Körpers ist linear oder proportional zur gemessenen Belastung: das Hookesche Gesetz sagt, dass für viele Materialien die Längenänderung proportional oder linear zur wirkenden Kraft ist. Das ist hier mit einem Beispiel erklärt. Es wird auch erklärt, wann man von Proportionalität und wann man von Linearität spricht.

Verschiedene Fassungen der Definition



Das Hookesche Beispiel einer Metallstabes


Spannt man einen Stab aus Metall beidseitig in eine Zugmaschine ein, dann kann man den Stab damit auseinander in die Länge ziehen. Wenn man die Zugkraft um zum Beispiel 100 Newton erhöht, dann kann es sein, dass der Stab dadurch um 2 Millimeter länger wird. Eine erneute Erhöhung der Kraft um weitere 100 Newton würde dann eine zusätzliche Längung um weitere 2 Millimeter ergeben. Eine Krafterhöhung um 100 Newton, ergäbe also immer eine weitere Längung um 2 Millimeter. Pro Längeneinheit (mm) benötigt man hier also 50 Newton an Kraft.

Was ist die Federkonstante?


Das Hookesche Gesetz wird oft am Beispiel von einer Schraubenfeder erklärt. Zieht man an der Feder, wird sie länger. Drückt man von beiden Seiten, wird wie kürzer. Schraubenfedern können so gebaut sein, dass sie recht gut dem Hookeschen Gesetz folgen. Eine Zug- oder Druckkraft von zum Beispiel 100 Newton würde dann immer dieselbe Längenänderung bewirken, zum Beispiel 2 Millimeter. Wie viele Newton Kraft man pro Millimeter Längenänderung benötigt, ist dann eine immer gleiche, also konstante Zahl. Es wäre hier im Beispiel 50 N/mm. Das ist die sogenannte Federkonstante ↗

Was bedeutet Elastizität im Sinne des Hookeschen Gesetzes?


Schrauben- oder Spiralfedern, Stäbe oder Drähte aus Metall: das Hookesches Gesetzt bezieht sich meist auf mehr oder minder feste Körper. Und diese Körper müssen sich dabei elastisch verhalten. Ein Körper heißt elastisch, wenn er Druck oder Zug an ihm seine Form ändern, der Körper aber wieder seine alte Form annimmt, wenn der Zug oder Druck nicht mehr wirken. Auch wenn das bloße Auge das kaum sehen kann ist eine Stahlkugel hochelastisch. Siehe mehr dazu unter Elastizität ↗

Wo gilt das Hookesche Gesetzt nicht?


Holz, Gummibänder oder auch Federn jenseits der Elastizitätgrenze verhalten sich nicht gemäß dem Hookeschen Gesetz. Diese Körper verhalten sich vielleicht elastisch (notwendige Bedingung), ihre Formveränderung reagiert aber nicht linear auf die äußere Belastung. Das sieht man besonders eindrucksvoll an Gummibändern, etwa aus einem Textilgeschäft. In einem konkreten Versuch wurden an eine Gummiband zunächst 50 Gramm Gewicht angehängt. Das führte zu einer Längung von etwa 2 Zentimetern. Dann wurde mehrfach hintereinander immer wieder neu weitere 50 Gramm Gewichte angehängt. Als der Gummi schon recht lang gedehnt war, führt ein einziges weiteres 50 Gramm Gewicht zu einer weiteren Längung von über 10 Zentimetern. Hier gilt also nicht, dass dieselbe zusätzliche Zugkraft immer auch dieselbe zusätzliche Längung bewirkt. Der Gummi ging zwar am Ende wieder auf seine alte Länge zurück, war also elastisch, das Verhalten war aber nicht linear und damit galt auch nicht das Hookesche Gesetz. Siehe dazu auch den Gummibandversuch [Hook gilt nicht] ↗

Wann spricht man von Linearität?


Solange das Hookesche Gesetzt gilt, wächst die Länge immer linear mit der Belastung. Als Graph im Sinne der Mathematik hat man immer eine Gerade. Auf der x-Achse trägt man die insgesamt wirkende Belastung, zum Beispiel die Zugkraft auf. Auf der y-Achse trägt man die dazugehörige gesamte Länge des Körpers auf. Dabei ist es auch erlaubt, dass man einer nicht vorhandenen Belastung (z. B. die Zugkraft 0 N) bereits eine Anfangslänge zuordnet. Man kann sagen: bei einer Zugkraft von 0 N hat der Stab eine Länge von 20 mm. Dann geht der Graph beim Punkt (0|20) durch die y-Achse. Der Graph gehört dann zu einer linearen Funktion, nicht aber zu einer proportionalen Funktion. Man nicht sagen, dass die doppelte Kraft auch die doppelte Gesamtlänge des Körpers gibt (das wäre Proportionalität). Man kann aber sagen: die doppelte Kraft gibt auch einen doppelten Längenzuwachs: Siehe auch Linearität ↗

Wann spricht man von Proportionalität


Wenn man nicht die gesamte Länge eines Körpers als Funktion der Belastung, meist einer Zugbeanspruchung, aufträgt, sondern nur die durch diese Belastung hervorgerufene Längenänderung, ist die Zuordnung nicht nur linear, sondern auch proportional: bei einer Belastung von 0 Newton hat man dann auch 0 mm Längenänderung. Der entsprechende Graph ist eine Gerade, die auch durch den Koordinatenursprung geht. Man kann jetzt sagen: die doppelte Kraft ergibt auch die doppelte Längenänderung. Die Definition oben bezeichnen diese reine Änderung der Länge passend als Dehnung, Auslenkung oder Verschiebung. Siehe mehr dazu unter Proportionalität ↗

Fußnoten



Man sieht eine Schraubenfeder. Gunter Heim



Man sieht eine Schraubenfeder. Gunter Heim