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Euklidische Geometrie


Mathematik


Basiswissen


Als euklidische Geometrie im engeren Sinn bezeichnet man die Geometrie, wie sie von dem antiken griechischen Denker Euklid (3. Jh. v. Chr.) in seinem Buch „Die Elemente“ dargelegt wurde. Die euklidische Geometrie deckt sich im Wesentlichen mit der Alltagserfahrung von Menschen. Das ist hier kurz vorgestellt.

Die vier euklidischen Axiome


Euklids Werk „Die Elemente“ baut auf nur vier Grundannahmen, sogenannten Axiomen auf. Aus diesen vier Axiomen kann man dann alleine durch logische Schlüsse sehr viele weitere Aussagen und Lehrsätze entwickel. Diese Methode, aus Axiomen weitere Erkenntnisse sozusagen herauszuziehne nennt man auch Deduktion. Die vier euklidischen Axiome sind:


Ein euklidischer Raum


Ein Raum, in dem diese vier Axiome gelten nennt man auch euklidisch, oder auch einen ebenen Raum. Die Räume, insbesondere die 3D-Koordinatensysteme der Vektorrechnung aus der Schulmathematik sind überlicherweise solche euklidsche Räume. Siehe auch euklidischer Raum ↗

Ein nicht-euklidischer Raum


Gilt eines oder mehrere der Gesetze nicht, dann ist der Raum ein sogenannter gekrümmter Raum. Das trifft zum Beispiel auf das Konzept von Albert Einsteins Raumzeit in der Relativitätstheorie zu. Ein solcher Raum heißt auch gekrümmter Raum ↗

Eine nicht-euklidische Fläche


Ein großes und praktisch sehr bedeutsames Teilgebiet der Geometrie ist die sogenannte sphärische Geometrie: man betrachtet flache Figuren auf einer Kugeloberfläche. Hier gelten Euklids Axiome nicht mehr. So gilt zum Beispiel nicht mehr das erste Axiom, dass es nämlich durch zwei Punkte nur eine kürzeste Verbindungsstrecke gibt. Betrachtet man zum Beispiel den Nordpol und den Südpol auf einem Globus, dann sieht man, dass es unendlich viele gleich lange und kürzesten Verbindungsstrecken dazuwischen gibt. Siehe mehr dazu unter sphärische Geometrie ↗

Fußnoten