Basiswissen

v²/r oder r·ω² sind die Formeln zur Berechnung der Stärke der sogenannten Zentripetalbeschleunigung. Das ist die Beschleunigung, die ein Körper auf einer Kreisbahn Richtung Kreismittelpunkt erfährt. Was das bedeutet und wie man damit die Zentripetalkraft berechnet ist hier kurz erklärt.

Was genau bedeutet Zentripetalbeschleunigung?

Beschleunigungen betrachtet man oft nur für Bewegungen in eine bestimmte geradlinige Richtung. Man stelle sich einen sehr schnell rotierenden Uhrzeiger vor. Steht die Zeigerspitze auf 3 Uhr, bewegt sich die Zeigerspitze vertikal von oben nach unten, aber überhaupt nicht horizontal. Steht die Zeigerspitze auf 6 Uhr, bewegt sie sich überhaupt nicht von oben nach unten aber dafür „schnell“ von rechts nach links. Es muss also eine (bremsende) Beschleunigung in die vertikale und eine verstärkende Beschleunigung in horizontaler Richtung gegeben haben. Bei Kreisbewegungen wird die Bewegung ständig in Richtung Kreismittelpunkt abgelenkt und damit beschleunigt. Diese Beschleunigung ist die Zentripetalbeschleunigung. Die Zentripetalbeschleunigung wirkt als "von außen nach innen" im Bezug auf die Kreisbewegung. Sie steht immer im Zusammenhang mit einer Bewegung auf einer Kreisbahn ↗

Berechnung der Zentripetalbeschleunigung bei einer Kreisbewegung

a = v²:r

a = r·ω²

Legende

a = z. B. in m/s² ist die Zentripetalbeschleunigung (auch Normalbeschleunigung)

v = z. B. in m/s, ist die momentane Bahngeschwindigkeit ↗

r = z. B. in m ist der Radius der Kreisbahn ↗

ω = z. B. in rad/s (kleines Omega) ist die die Winkelgeschwindigkeit ↗

: = ein Geteiltzeichen ↗

Erklärung zu den Formeln

Beide Formeln oben führen zum selben Ergebnis: der errechnet Zahlenwert gibt an, mit welcher Beschleunigung ein Körper ständig von außen nach innen gedrückt oder nach innen gezogen werden muss, wenn er sich auf einer Kreisbahn bewegen soll. Als Vektor (Pfeil) gedacht, zeigt die Zentripetalbeschleunigung immer direkt hin zum Mittelpunkt der Kreisbewegung ↗

Rechenbeispiel

Im normalen Dauerlauf (Joggen) macht man vielleicht 3 Meter pro Sekunde (m/s/) an Geschwindigkeit. Angenommen, ma versucht dabei auf einem Kreis mit einem Durchmesser von 8 Metern zu laufen. Der Radius ist dann also 4 Meter. Das passt ungefähr in ein größeres Wohnzimmer. Dann kann man die Formel für die Bahngeschwindigkeit v nehmen. Der Term für die Zentripetalbeschleunigung a ist dann v²/r. Man setzt die Werte ein (3 m/s)² durch 4 m, das gibt 2,25 m/s² an Zentripetalbeschleunigung. Das ist ungefähr ein Viertel der Erdbeschleunigung. Die Kraft für diese Beschleunigung muss von unserem Füßen über die Reibungskraft erzeugt werden. Hat der Boden keine Reibung, etwa auf einer Eisfläche, dann können die Füße auch keine nach innen gerichtete Kraft erzeugen und man kann keinen so engen Kreis laufen. Ein weiteres Rechenbeispiel steht auf der Seite zum Weltraumhabitat Stanford-Torus ↗

Von der Zentripetalbeschleunigung zur Zentripetalkraft

Hat man die Zentripetalbeschleunigung a eines Körpers mit der Masse m auf einer Kreisbahn berechnet kann man nach der Formel F=m·a die Masse mit der Beschleunigung multiplizieren. Das Ergebnis ist dann die Zentripetalkraft, zum Beispiel in der Einheit Newton [N]. Diese Kraft zeigt immer hin zum Mittelpunkt der Kreisbewegung. Siehe auch Zentripetalkraft ↗