Basiswissen

Wozu ist das Verfahren gut?

• Mit ihm beweist man Sätze, die für natürliche Zahlen formuliert sind.
  

• Meistens werden die natürlichen Zahlen mit einem kleinen n geschrieben.
  

• Beispiel Gaußsche Summenformel: 1+2+3+...n = n(n+1):2
  

• Mehr dazu unter Gaußsche Summenformel ↗
  

• Das Verfahren hat 4 Schritte:
  

1. Induktionsanfang

• Die Wahrheit der Aussage wird für ein konkretes n gezeigt.
  

• Den Wert in die Aussage einsetzen und zeigen, dass sie "aufgeht".
  

• Oft nimmt man als konkretes n die Zahl 1.
  

• Beispiel: n=4 gibt: 1+2+3+4=4(4+1):2
  

• Ausrechnen: 10 = 10, also wahr.
  

2. Induktionsannahme

• Man schreibt die Aussage mit n noch einmal hin:
  

• Beispiel: 1+2+3+...n = n(n+1):2
  

3. Induktionsbehauptung

• Man formuliert die Aussage für n+1
  

• Beispiel: 1+2+3+...+n+(n+1) = (n+1)(n+1+1):2
  

• In diesem Schritt müssen die Terme aus Schritt 2 und 3 verbunden werden.
  

• Man kann in der Behaupt auf der linken Seite das 1+2+3..+n ...
  

• ersetzen durch die rechte Seite von der Induktionsannahme.
  

• Das ist als Verbindung ausreichend. Dann vereinfacht man ...
  

• beide Seiten und zeigt, dass sie gleichwertig sind.
  

• Beispiel: n(n+1):2 + (n+1) = (n+1)(n+1+1):2
  

• Vereinfachen: 0,5n²+1,5n+1 = 0,5n²+1,5n+1
  

• Damit ist der ganze Satz für alle n bewiesen.
  

Was sind typische Sätze zum Beweisen?

• Summe S der n ersten natürlichen Zahlen = n(n+1):2
  

• Summe der n ersten Quadratzahlen = n(n+1)(2n+1):6
  

• Summe der n ersten Kubikzahlen = [n(n+1):2]^2
  

• Summe der n ersten Potenzen von q =^{[1-q^(n+1)]}/^[1-q]
  

• Das Odd Number Theorem [für Quadratzahlen] ↗
  

• Mehr unter Summenformeln ↗