Basiswissen

Jede Zahl, die nicht in der Zweierreihe steht heißt ungerade: Zahlen wie 1, 3, 5, 7, 9, 11 aber auch -1, -3 oder -5 gehören dazu. Teilt man eine ungerade Zahl durch zwei, bleibt immer ein Rest von genau eins. Das ist hier kurz noch erläutert.

Eigenschaften

Jede Zahl, bei der ein Rest von genau eins bleibt, wenn man sie durch zwei teilt 👉 Teilen mit Rest

Jede Zahl, bei der beim Teilen durch zwei eine echte Kommazahl herauskommt 👉 echte Kommazahl

Ungerade Zahlen stehen nie in der Zweierreihe.

Die Null gehört nicht zu den ungeraden Zahlen.

Ungerade Zahlen dürfen negativ sein (Minuszahlen)

Anschaulich

Nehmen wir als Beispiel für irgendwelche Dinge ein großes O. Kann man 5 große dieser Buchstaben so in zwei Reihen legen, dass in beiden Reihen gleich viele O's sind? Probieren wir es:

O O
O O O

Das hat nicht geklappt. Aber auch dann, wenn man das übrig bleibende O irgendwo anders hinschiebt, gibt es am Ende keine zwei Reihen mit gleich vielen O's:

O
O O
O O

Das hat wieder nicht geklappt. Und es gibt tatsächlich keine Lösung, mit der es klappt. Es bleibt immer ein Rest von einem O, das man nicht in einer Reihe unterbringen kann. Anzahlen, aus denen man keine gleich zwei großen Reihen ohne Rest legen kann, nennt man ungerade.^[1]

In der Natur

Die Natur hat ein sehr schönes Beispiel für den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Zahlen. Viele Pflanzen, zum Beispiel die Kartoffel-Rose oder das Gänsefingerkraut haben an einen Blattstiel links und rechts ganz viele kleine Blättchen.

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Ohne das Blättchen am Ende des Stiels wäre die Anzahl der kleinen Blättchen gerade. Mit dem Endblatt aber ist die ganze Anzahl ungerade.

Für jedes Blatt links gibt es genau ein Blatt rechts. Bis dahin wäre die Anzahl an Blättchen gerade. Aber da es am Ende des Blattstiels immer noch ein zusätzliches Blatt für sich alleine gibt, wird die Anzahl am Ende ungerade. Wenn man mit offenen Augen durch die Natur oder eine begrünte Stadt geht, wird man schnell viele solcher gefiederten Blätter sehen. Manche sind paarig (gerade), andere sind unpaarig (ungerade).

Etwas Zahlentheorie

Was passiert, wenn man bei der 1 anfängt und dann immer weiter alle ungeraden Zahlen aufaddiert? Passiert dabei irgend etwas Interessantes? Sehen wir einmal:

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

Wenn du schon die sogenannten Quadratzahlen kennst, hast du hier vielleicht schon eine Idee. Vielleicht glaubst du, als nächstes käme die 25, dann die 36 und danach noch die 49. Machen wir den Test:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

Bingo! Offensichtlich ist es so, dass man von der 1 beginnend die ersten n ungeraden Zahlen aufaddiert und als Ergebnis die Zahl n mal n, also n² bekommt. (Das kleine n steht hier dafür bis zur wievielten ungeraden Zahl mal geht.) Doch ist das immer so? Oder kommt vielleicht irgendwann jenseits der 1000 oder der Million plötzlich eine Ausnahme? Könnte man das irgendwie heraus finden?

Ein möglicher Beweist geht über ein Quadrat, das man von oben links nach unten und rechts durch ständig neu hinzugefügte Haken oder L's aus neuen Kreisen vergrößert:

● ○ ● ○ ● ○
○ ○ ● ○ ● ○
● ● ● ○ ● ○
○ ○ ○ ○ ● ○
● ● ● ● ● ○
○ ○ ○ ○ ○ ○

Erkennst du einen Zusammenhang zwischen diesem quadrat-ähnlichen Muster und den Summen der ungeraden Zahlen von oben? Das ganze Thema ist auf einer anderen Seite weiter besprochen. Im Deutschen konnte ich für dieses Muster in der Welt der Zahlen keine Namen finden. Auf Englisch heißt es das 👉 Odd Number Theorem

Was heißt disjunkt?

Definitionen von geraden und ungeraden Zahlen verwenden oft das Wort disjunkt: für die Menge aller ganzen Zahlen bilden die geraden und die ungeraden Zahlen zwei zueinander disjunkte Teilmengen. Disjunkt heißt, dass die zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben. Anders gesagt: eine Zahl ist entweder gerade oder sie ist ungerade. Sie kann aber nicht gleichzeitig beide Eigenschaften haben. Siehe auch unter 👉 disjunkt

Fußnoten

[1] Paul Lockhart: Mathematician's Lament. How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. Bellevue Literary Press. New York. 2009. ISBN 978-1-934137-17-8. Dort auf Seite 99. Lockharts dünnes Büchlein ist ein herzergreifender Aufruf, die Mathematik als etwas wirklich Kreatives zu verstehen. Kinder sollten, so Lockhart, nicht fertige Lösungen auswendig lernen. Sie sollten vielmehr anhand echter und offener Probleme eigene Lösungen entwickeln und ausprobieren können. Das Beispiel mit den geraden und ungeraden Zahlen wurde aus Lockharts Buch übernommen.