Kurzinfo

Das Teilen durch 0, also die Division durch 0, ist in der Mathematik nicht definiert. Das heißt: irgendetwas geteilt durch 0 hat kein Ergebnis. Hier werden Gründe und Folgen genannt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht das comichafte Gesicht eines freundlichen Teufels. © Gunter Heim netalloy on www.openclipart.org (real person presumably from Hyderabad) www.netalloy.com ☛

Warum das nicht definiert ist

Grund 1: Umkehrrechnung geht nicht

Die Umkehrrechnung funktioniert nicht: Das Teilen ist die Umkehrrechnung zum Malnehmen. Nehmen wir das Beispiel 12:4. Zwölf geteilt durch 4 ist 3. Probe: 3 mal 4 gibt wieder 12. Immer wenn diese Probe mit dem Rückwärtsrechnen klappt, dann war das Teilen richtig. Was sollte 12 geteilt durch 0 sein? Vielleicht 10? Dann müsste 0 mal die 10 wieder Zwölf geben. 0 mal 10 gibt aber 0. Null mal irgendwas gibt nämlich immer Null. Dann probieren wir Zwölf geteilt durch eine Million. Aber eine Million mal Null gibt auch wieder Null. Also: egal welche Zahl man auch probiert, bei der Umkehrmalrechnung kommt immer nur Null und niemals Zwölf heraus. Deswegen sagt man, dass das Teilen durch Null keinen Sinn macht.

Grund 2: Haufenfrage macht keinen Sinn

Die Haufenfrage gibt keinen Sinn: 12:4 kann man unter anderem so auffassen: Ich habe 12 Äpfel und verteile sie auf vier gleich große Haufen. Wie viele Äpfel sind dann auf jedem Haufen? Die richtige Antwort wäre hier: 3! Das probieren wir jetzt mit 12:0. Ich habe 12 Äpfel und verteile sie auf 0 gleich große Haufen. Wie viele Äpfel sind auf jedem Haufen? Da man 12 Äpfel nicht auf 0 Haufen verteilen kann, sagt, man, dass die Frage keinen Sinn macht. Das war ein zweiter Grund, warum durch Null nicht geht.

Grund 3: Päckchenfrage macht keinen Sinn

Die Päckchenfrage gibt keinen Sinn: 12:4 kann man auch so auffassen: Ich habe 12 Äpfel. Wie viele Vierpäckchen stecken da drin? Richtige Antwort: 3! Das jetzt wieder mit durch 0: Ich habe 12 Äpfel. Wie viele 0er-Päckchen gäben das? Wieder merkt man, dass die Frage keinen Sinn gibt. Selbst mit unendlich vielen 0er-Päckchen käme man nie auf die 12. Das war ein dritter Grund, warum durch Null nicht geht.

Folgen einer fehlenden Definierbarkeit

Unlösbare Gleichungen

Eine Folge davon, dass die Division durch 0 nicht definiert sind bestimmte unlösbare Gleichungen. So kann man für die Gleichung 8:x = 0 keine Lösung angeben. Setzt man für x die 0 ein, dann ist die linke Seite der Gleichung nicht definiert. Setzt man irgendeine andere Zahl ein, dann wird der Term links niemals zu 0. Es gibt also keine Zahl, die aus der Gleichung eine wahre Aussage macht. Mehr dazu unter 👉 unlösbare Gleichungen

Definitionslücken

Die Funktion f(x) = 60:(x-4) kann in einem Koordinatensystem als Graph dargestellt werden. Man kann für x beliebige Werte einsetzen und erhält dann den entsprechenden Punkt im Koordinatensystem. Nicht erfolgreich einsetzen kann man aber die Zahl 4. Denn dann rechnet man auf der rechten Seite: 60 durch 4-4, also 60 durch 0. Das ist nicht definiert. Damit hat die Funktion bei x=4 eine sogenannte Definitionslücke.

Beispielhafte Gleichung 👉 f(x)=60:(x-4)

Allgemein zur Idee der 👉 Definitionslücke

y-Wert gegen ̄̄̄unendlich 👉 Polstelle

In der Physik 👉 Singularität

Aus Sicht der Mathematik kann man den Definitionsbereich von Gleichungen und Funktionen willkürlich, das heißt frei nach eigenem Gutdünken über die mathematisch nicht definierten Bereiche hinaus einschränken. Man könnte zum Beispiel nicht nur die Zahl 4 vom Definitionsbereich der Funktion f(x) = 60:(x-4) ausschließen sondern zum Beispiel auch alle Zahlen die kleiner sind als 4. Damit würde man sicherstellen, dass der Funktionswert niemals negative Werte annimmt, also immer positiv bleibt.