Schnittpunkte von Ebenen in Koordinatenform bestimmen
Anleitung
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Basiswissen｜
1. Fall: keine Schnittpunkte｜
2. Fall: unendlich viele Schnittpunkte｜
3. Fall: es gibt eine Schnittgerade
Basiswissen
Man hat zwei Ebenen in Koordinatenform gegeben: ax+by+cz=d. zwei Ebenen im Raum können als Schnittpunkte eine Gerade, unendlich viele Punkte oder gar keine Schnittpunkte haben. Die drei Fälle und ihre Berechnung sind hier kurz vorgestellt.
1. Fall: keine Schnittpunkte
- Ebene 1: 4x+8y+24z = 6
- Ebene 2: 2x+4y+12z = 4
- Zuerst prüft man, ob die Ebenen parallel sind:
- Die Zahlen vor den Variablen heißen Koeffizienten.
- Man betrachtet nur diese Koeffizienten.
- Findet man eine Zahl, mit der man die Kooffizienten der ersten Gleichung durchmultiplizieren kann, ...
- und erhält man dadurch genau die drei Koeffizieten der zweiten Gleichung, dann sind die zwei Ebenen zueinander parallel.
- Nur in diesem Fall ist es möglich, dass die zwei Ebenen keine Schnittpunkte haben.
- Das trifft auf das Beispiel hier zu.
- Man prüft dann als nächstes:
- Kann man durch Äquivalenzumformen, die erste Gleichung in die zweite umwandeln?
- Falls das geht, dann gilt: die zwei Ebenen sind identisch und haben unendlich viele Schnittpunkte.
- Falls die Umformung nicht geht, dann sind die zwei Ebenen echt parallel und haben keine gemeinsamen Schnittpunkte ✔
- Siehe auch echt parallel ↗
2. Fall: unendlich viele Schnittpunkte
- Ebene 1: 4x+8y+24z = 6
- Ebene 2: 2x+4y+12z = 12
- Zuerst prüft man, ob die Ebenen parallel sind:
- Die Zahlen vor den Variablen heißen Koeffizienten.
- Man betrachtet nur diese Koeffizienten.
- Findet man eine Zahl, mit der man die Kooffizienten der ersten Gleichung durchmultiplizieren kann, ...
- und erhält man dadurch genau die drei Koeffizieten der zweiten Gleichung, dann sind die zwei Ebenen zueinander parallel.
- Nur in diesem Fall ist es möglich, dass die zwei Ebenen keine Schnittpunkte haben.
- Das trifft auf das Beispiel hier zu.
- Man prüft dann als nächstes:
- Kann man durch Äquivalenzumformen, die erste Gleichung in die zweite umwandeln?
- Falls das geht, dann gilt: die zwei Ebenen sind identisch und haben unendlich viele Schnittpunkte ✔
- Siehe auch identisch ↗
3. Fall: es gibt eine Schnittgerade
- Ebene 1: x+y-z = 1
- Ebene 2: 4x-y-z = 3
- Zuerst prüft man, ob die Ebenen parallel sind:
- Die Zahlen vor den Variablen heißen Koeffizienten.
- Man betrachtet nur diese Koeffizienten.
- Findet man eine Zahl, mit der man die Kooffizienten der ersten Gleichung durchmultiplizieren kann, ...
- und erhält man dadurch genau die drei Koeffizieten der zweiten Gleichung, dann sind die zwei Ebenen zueinander parallel.
- Das ist im Beispiel oben nicht der Fall, also sind die zwei Ebenen zueinander auch nicht parallel.
- Sind zwei Ebenen nicht parallel zueinander, dann haben sie automatisch immer eine Schnittgerade.
- Diese Schnittgerade wird nun bestimmt:
- Man verbindet die zwei Ebenengleichung.
- Erste Möglichkeit Einsetzungsverfahren ↗
- Zweite Möglichkeit Additionsverfahren ↗
- Dritte Möglichkeit Gleichsetzungsverfahren ↗
- Ziel ist es: einmal y links alleine stehen zu haben.
- Und zum Zweiten: z links alleine stehen zu haben:
- y = 1,5x-1
- z = 2,5x-2
- Nun schreibt man statt x den Parameter r: x=r
- Damit schreibt man die Gleichung der Schnittgeraden auf:
- Schnittgerade: (x|y|z) = (r|1,5r-1|2,5r-2)
- Oder umgeformt: (xy|z) = (0|-1|-2)+r(1|1,5|2,5) ✔
- Siehe auch Parameterform der Geraden ↗