Basiswissen

Für hohe Geschwindigkeiten - Richtung Lichtgeschwindigkeit - liefert die newtonsche Formel Ekin = ½mv² immer größere Fehler. Der Grund sind Effekte aus Einsteins Relativitätstheorie. Hier wird erklärt, wie man die Bewegungsenergie, auch kinetische Energie genannt, relativistisch berechnet.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die relativitische Bewegungsenergie oder auch kinetische Energie: der Bruchterm ist der Lorentzfaktor.☛

Lösungsidee

Man berechnet zunächst die relativistische Gesamtenergie Eges = ymc². Davon zieht man dann die Ruhenenergie mc² ab. Das Ergebnis ist die relativistische Bewegungsenergie Ekin. Die Formel dazu ist in vier gleichwertigen Varianten dargestellt:

Formeln

Variante 1: Ekin =^{[1/√(1-v²/c²)]}·m·c² - m·c²

Variante 2: Ekin =^{[1/√(1-v²/c²)-1]}·m·c²

Variante 3: Ekin = y·m·c² - m·c²

Variante 4: Ekin = Eges - m·c²

Legende

E = relativistische Gesamtenergie, kurz: Gesamtenergie

y = 1 durch Wurzel aus (1-v²/c²) Lorentzfaktor ↗

m = Masse, identisch mit der Ruhemasse ↗

c = 2,997925·10^8 m/s Lichtgeschwindigkeit ↗

v = Geschwindigkeit der Masse m relativ zum Beobachter

Rechenbeispiel

Am CERN in der Schweiz werden im sogenannten Large Hadron Collide (LHC) unter anderem Protonen bis nahe an die Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Realistisch sind zum Beispiel 99,99996 % der Lichtgeschwindigkeit c.

Variante 4 der Formel: E =^{[1/√(1-v²/c²)-1]}·m·c²

c: Lichtgeschwindigkeit = 2,997925 mal 10 hoch 8 m/s

m: Protonenmasse = 1,660538921 mal 10 hoch minus 27 kg

v: Zielgeschwindigkeit = 0,9999996 % mal c

Die gegebenen Werte in die Formel einsetzen ergibt eine Gesamtenergie von rund 1,7 mal 10 hoch -7 Joule oder rund 98 % der relativistischen Gesamtenergie. In Kommadarstellung ist die relativistische Bewegungsenergie 0,000000167 Joule. ✔