Basiswissen

Als Random Walk^[1], auf Deutsch auch Irrfahrt^[2], bezeichnet man eine Bewegung aus einzelnen Schritten, wobei jeder Schritt in der Richtung und der Weite einen zufälligen Wert annehmen kann. Der Random Walk ist ein mathematisches Modell, das auf viele verschiedene Probleme angewandt wird, etwa die Diffusion von Stoffen oder Lebewesen^[3], die Brownsche Molekularbewegung^[4] oder den Bau von Atombomben^[5]. Die Grundidee ist hier mit einem einfachen Beispiel vorgestellt.

Der symmetrische, eindimensionale Random Walk

Man stelle sich eine unendlich lange Zahlengerade vor. Zum Anfang des Spiels steht ein Spielstein auf der Position 0. Dann würfelt man mit einem normalen Spielwürfel. Würfelt man eine 1, 2 oder 3, geht man mit dem Spielstein einen Schritt nach links. Würfelt man eine 4, 5 oder 6, geht man mit dem Spielstein einen Schritt nach rechts. Wenn man das Spiel dann für viele weitere solche zufälligen Schritte fortsetzt, entsteht ein Random Walk. Der Fall hier heißt symmetrisch, weil die Wahrscheinlichkeiten für links und rechts gleich groß. Und das Beispiel ist eindimensional, weil die möglichen Bewegungen auf eine Gerade beschränkt sind.

Entfernung nach n Schritten

Eine typische Frage im Zusammenhang mit einem Random Walk ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man nach n Schritten einen bestimmten Abstand zum Ursprungsort zurückgelegt? Übertragen auf eine Bewegung in zweidimensionalen Räumen, also auf einer Fläche, ist das zum Beispiel für das Mirgrationsverhalten von Tieren interessant.

Rückkehrwahrscheinlichkeit

Eine andere, oft betrachtete Frage ist die nach der Wahrscheinlichkeit, mit der man wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Für Bewegungen entlang einer Strecke (eindimensional) und in einer Ebene (zweidimensional) ist die Wahrscheinlichkeit, nie mehr zurück zu kehren gleich 0, vorausgesetzt man denkt in unendlich vielen Schritten. Das gilt aber nicht für Bewegungen im Raum. Bei einem dreidimensionalen Random Walk kann es auch nach unendlich vielen Schritten sein, dass man nicht zum Ausgangspunkt zurückkehrt.

Fußnoten

[1] Karl Pearson: The Problem of the Random Walk. In: Nature. Band 72, Nr. 1865, Juli 1905, S. 294, doi:10.1038/072294b0.

[2] Georg Pólya: Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“. In: Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. Band 19, 1919, S. 75–86.

[3] Wolf Schwarz: Random Walk and Diffusion Models. An Introduction for Life and Behavioral Scientists. Springer. 2022.

[4] Die Brownsche Molekularbewegung wird direkt in den einleitenden Worten als Beispiel erwähnt. In: Franz Embacher: Random Walk in einer Dimension. Außermathematische Anwendungen im Mathematikunterricht. Wintersemester 2012/13. Universität Wien. Online: https://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw2012/RandomWalk.pdf

[5] Dass der deutsche Physiker Werner Heisenberg (1901 bis 1976) in der Zeit des zweiten Weltkriegs einen Random Walk zu Abschätzung der nötigen Menge Uran zum Bau einer Atombombe benutzt hat, wird betrachtet in: Carl H. Meyer, Günter Schwarz: The Theory of Nuclear Explosives That Heisenberg Did not Present to the German Military. Preprint 467. Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte. 2015. Online: https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/sites/default/files/Preprints/P467.pdf