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Ortslinie einer Kurvenschar berechnen

Anleitung

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Basiswissen

Zum Beispiel: alle Punkte einer Schar, die die Steigung 1 haben oder alle Tiefpunkte können auf einer gemeinsamen Linie liegen. Eine solche Linie, die Punkte gemeinsamer Eigenschaften verbindet heißt Ortslinie. Es wird Schritt für Schritt die Berechnung erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Mehrere Parabeln bilden zusammen die Schar fa(x)=ax². Für jede Parabel wurde der Punkt mit der Steigung 1 bestimmt. Die Punkte ergeben miteinander die blaue Gerade. Das ist die Ortslinie zu allen Punkten mit der Steigung 1 für diese Schar.☛

Kurzanleitung

Der Scharparameter sei hier a genannt.

Man berechnet die x-Koordinate des besonderen Punktes in Abhängigkeit von a.

Man berechnet die y-Koordinate des besonderen Punktes in Abhängigkeit von a.

Man stellt die Gleichung für die x-Koordinate nach a um.

Man setzt den Term für a in die Gleichung für die y-Koordinate ein.

Das ist die fertige Gleichung der Ortslinie.

Beispiele

Wir haben die Funktionsschar f(x)=ax².

Die besonderen Punkte seien alle Punkte mit der Steigung 1.

x-Koordinate berechnen: f'(x)=1 gibt: 2ax=1, also: x=1/(2a)

y-Koordinate berechnen: Ergebnis von eben in f(x) einsetzen ...

das gibt: y=a*^[1/(2a)]², vereinfacht zu: y=1/(4a)

Gleichung für x-Koordinate nach a umstellen gibt: a=1/(2x)

Das in die Gleichung für y einsetzen gibt: y=x/2

y=0,5x ist die gesuchte Ortslinie.