Grundidee

Als Ortslinie im Zusammenhang mit einer Schar von Kurven bezeichnet man eine Linie, auf der alle besonderen Punkte der einzelnen Graphen, etwa die Hoch-, Tief- oder Wendepunkte liegen. Alle Hochpunkte der einzelnen Graphen geben dann zusammen die Ortslinie der Hochpunkte der Schar. Diese Ortslinie kann man oft (nicht immer) als Gleichung einer Funktion angeben. Diese Funktionsgleichungen sollen hier bestimmt werden.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Mehrere Parabeln bilden zusammen die Schar fa(x)=ax². Für jede Parabel wurde der Punkt mit der Steigung 1 bestimmt. Die Punkte ergeben miteinander die blaue Gerade. Das ist die Ortslinie zu allen Punkten mit der Steigung 1 für diese Schar.☛

Scheitelpunkte von Parabelscharen

a) ft(x) = -2x² + tx - 1
b) fk(x) = (x-2k)^2+k
c) ft(x) = x² + tx - t

Hochpunkte einer kubischen
(hoch drei) Funktionsschar

d) fk(x) = -2x³ + kx

Wendestellen einer quartischen
(hoch vier) Funktionsschar

e) fk(x) = x^4 - kx^2

Wendestellen einer Schar
von Exponentialfunktionen

f) fk(x) = (e^x - k)^2

Wendepunkte einer Schar
von Logarithmusfunktionen

g) fk(x) = x + ln(x² + k) für natürliche k

Lösungen

a) o(x) = 2xx-1
b) o(x) = 0,5x
c) o(x) = -xx + 2x
d) o(x) = 4x^3
e) o(x) = -x^4

f) o(x) = e^(2x)
g) o(x) = x + ln(2xx)