Basiswissen

Das Monty-Hall-Problem, auch Drei-Türen-Problem oder Ziegenproblem genannt, ist ein Lehrbuchbeispiel dafür, wie der gesunde Menschenverstand (die Intuition) gerade bei der Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten falsch liegen kann. Das ist hier kurz vorgestellt.

Der Spielablauf mit den drei Türen

In einem Ratespiel sieht ein Kandidat auf drei für ihn verschlossene Türen. Hinter nur genau einer dieser Türen steht ein Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen Türen je ein Trostpreis (oft als Ziegen bezeichnet, daher der Name Ziegenproblem). Der Kanditat darf zuerst raten, wo der Hauptgewinn steht. In jedem Fall wird der Showmaster ihm darauf eine der beiden Türen mit einem Trostpreis öffnen und zeigen, dass dort der Hauptgewinn nicht steht. Dann wird der Kandidat gefragt, ob er seine Wahl noc h einmal abändern möchte oder nicht. Die Frage ist: hat der Kandidat bessere, schlechtere oder dieselben Gewinnchancen, wenn er seine Wahl noch einmal ändert? Die meisten Menschen sagen hier, dass die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn zwischen den verbleibenden Türen je 50 % ist. Damit wäre es egal, ob man wechselt oder nicht. Eine Neuentscheidung hätte also keinen statistisch nachweisbaren Effekt auf die Gewinnchance. Diese Einschätzung ist jedoch falsch.

Die Strategie I: man bleibt bei der ersten Wahl

Stellen wir uns vor, ein Kanditat spielt das Spiel sehr oft. Er entscheidet sich dazu, niemals seine erst Wahl abzuändern. Er bleibt immer beharrlich bei seiner ersten Einschätzung. Es leuchtet ein, dass er damit eine Gewinncance von 1/3 hat. Wenn er sehr oft spielt, wird er mit dieser Strategie ein Drittel der Spiele gewinnen.

Die Strategie II: man wechselt immer noch einmal die Wahl

Nun entscheidet sich der Kanditat zu einem Strategiewechsel. Er wird immer wechseln, nachdem der Showmaster ihm die offene Tür gezeigt hat. Nach seiner ersten Wahl liegt er in zwei Drittel der Fälle falsch, hat sich also für die Tür mit dem Trostpreis entschieden. Wenn er falsch liegt - und in zwei Drittel der Fälle wird er falsch liegen - dann wird er bei einem Wechsel nach dem Öffnen der anderen Tür durch den Showmaster immer mit 100 %-iger Wahrscheinlichkeit den Hauptgewinn treffen. Das heißt: in zwei Drittel aller Situationen, wird er mit der Wechselstrategie den Hauptgewinn finden. Man erinnere sich, dass mit der Nicht-Wechsel-Strategie die Gewinnchance nur 1/3 betrug.

Selbstversuch

Am 17. September 2025 führten wir den Versuch zu zweit durch: ein kleiner Holzwürfel wurde vom Spielleiter unter einem von drei Schalen verdeckt hingelegt. Der andere Spieler musste raten, wo das Holzstück liegt. Es wurden insgesamt Runden mit je 10 Fragen durchgespielt. Bei den ersten zwei Runden blieb der Spieler immer bei der Strategie I (Wahl beibehalten). Bei den zwei verbleibenden Runden blieb der Spieler bei der Strategie II (Wahl ändern). Die Strategie wurde also nicht erst nach der ersten Runde gewählt. Sie war schon vor dem Beginn der Runde festgelegt. Hier sind die Ergebnisse:

Runde 1: zehn mal Raten mit Strategie I: insgesamt 0 Treffer

Runde 2: zehn mal Raten mit Strategie I: insgesamt 3 Treffer

Runde 3: zehn mal Raten mit Strategie II: insgesamt 6 Treffer

Runde 4: zehn mal Raten mit Strategie II: insgesamt 5 Treffer

Die empirische (durch Versuche gewonnene) Wahrscheinlichkeit zum Gewinnen lag bei Strategie I also bei insgesamt 3/20 oder 15 %. Bei Strategie II lag sie bei unseren bisherigen Versuchen bei 11/20 oder rund 55 %.

Beim Spielen kamen dem Spielleiter und dem Spieler langsam das Gefühl für den wesentlichen Punkt: Bei Strategie I muss man beim ersten Versuch richtig liegen, um am Ende gewonnen zu haben. Das trifft aber nur in einem Drittel der Fälle (auf lange Sicht) zu. Die theoretische Wahrscheinlichkeit dafür ist 1:3. Bei der Strategie II muss man beim ersten Versuch falsch gelegen haben, um am Ende zu gewinnen. Oder anders gesagt: wenn man bei Strategie beim ersten Versuch falsch liegt, hat man aufgrund der Regeln des Spiels am Ende auf jeden Fall gewonnen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 2:3.

Fußnoten

[1] Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9.

[2] Jason Rosenhouse: The Monty Hall Problem. Oxford University Press 2009, ISBN 978-0-19-536789-8.