Basiswissen

1, 8, 27, 64, 125 oder 216 sind typische Kubikzahlen: Jede Zahl, die man auch als Malkette von drei gleichen natürlichen Zahlen schreiben kann, heißt Kubikzahl. 8 kann man zum Beispiel auch als Malkette 2·2·2 schreiben. Das Wort Kubikzahl kommt vom lateinischen Wort Cubus für Würfel. Kubikzahlen haben geometrisch sehr eng etwas mit Würfeln zu tun.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Aus 1000 kleinen Würfeln kann man einen großen Tausenderwürfel bauen: wenn man aus einer Anzahl n gleich großer kleiner Würfel einen großen Würfel (ohne Lücken, ohne überbleibende Würfel) bauen kann, dann ist die Zahl n eine Kubikzahl. Cubus ist das lateinische Wort für einen Würfel.☛

Definitionen

Formal

Eine Kubikzahl ist eine Zahl welche sich aus dem Produkt dreier gleicher Faktoren aus natürlichen Zahlen ergibt.

Eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert ergibt ihre Kubikzahl.

Eine natürliche Zahl hoch drei gerechnet gibt immer eine Kubikzahl.

Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n³ eine Kubikzahl.

Anschaulich

Würfel

Neben der formalen, rein rechnerischen Definition kann man Kubikzahlen auch anschaulich definieren: wenn man aus einer Anzahl gleich großer aber eher kleiner Würfel ohne Lücken und ohne übrig bleibende kleiner Würfel einen großen Würfel bauen kann, dann war die ursprüngliche Anzahl kleiner Würfel eine Kubikzahl. Würfel heißt auf Latein Cubus, daher das Wort Kubikzahl.

Beispiele

Man kann zum Beispiel aus 8 gleich großen Würfeln einen größeren Würfel bauen. Es geht auch mit 27 kleinen Würfeln. Damit sind die 8 und die 27 Kubikzahlen. Mit 9 Würfeln aber würde es nicht funktionieren. Man könnte aus 9 kleinen Würfeln zwar einen großen 8er-Würfel bauen. Dann bliebe aber ein Stein übrig. Das darf für Kubikzahlen aber nicht sein.

Abgleich

Die anschauliche Definition passt auch gut auf die formale Forderung, dass man negativen Zahlen oder aus echten Kommazahlen keine Kubikzahlen erzeugen kann. Denn was soll es heißen, dass man eine Anzahl von -8 oder von 3,75 Würfeln hat? Wenn man etwas über eine Anzahl definiert, machen negative Zahlen und gebrochene Zahlen (echte Kommazahlen) keinen Sinn. Und genau das gibt die formale Definition auch gut wieder.

Beispiele

1, weil: 1·1·1 = 1

8, weil: 2·2·2 = 8

27, weil: 3·3·3 = 27

64, weil: 4·4·4 = 64

125, weil: 5·5·5 = 125

1000, weil 10·10·10 = 1000

1000000, weil 100·100·100 = 1000000

Mehr Beispiele unter 👉 Kubikzahlen

Verallgemeinerung zur dritten Potenz

Natürliche Zahlen

Kubikzahlen sind per Definition nur Zahlen, die aus einer natürlichen Zahl hoch drei gerechnet entstehen. Natürlich nennt man alle positiven ganzen Zahlen wie die 1, die 2, die 3, die 4 und so weiter. Nicht natürlich sind zum Beispiel die negativen Zahlen sowie die "echten Kommazahlen", also Zahlen, die man dezimal nicht ohne Komma schreiben kann. Das wirft eine gute Frage auf: wie nennt man dann das Ergebnis der Zahl -2 hoch drei gerechnet? Das Ergebnis von -2 mal -2 mal -2 ist -8. Oder wie nennt man das Ergebnis von 1,5 hoch drei, also von 1,5 mal 1,5 mal 1,5 = 3,75? Wenn die Ergebnisse keine Kubikzahlen sind, was sind sie dann?

Wenn -8 nicht als Kubikzahl von -2 gilt, wie nennt man diese Zahl dann?

Dritte Potenz

Eine Möglichkeit ist es, die Zahlen als dritte Potenzen zu bezeichnen. Die -8 ist die dritte Potenz von -2. Und die 3,75 ist die dritte Potenz von 1,5. Potenzieren heißt so viel wie hoch rechnen. Und für Potenzen gibt es keine Einschränkung, dass sie nur für natürliche Zahlen gelten. Das Potenzieren ist für alle reellen Zahlen definiert. Und damit gilt es auch für negative Zahlen, für alle Brüche und für alle "echten Kommazahlen". Eine Kubikzahl ist dann ein Sonderfall für eine 👉 dritte Potenz

Interessante Fragen

Gibt es Ziffern, die bei einer Kubikzahl niemals am Anfang, niemals am Ende oder die überhaupt nicht vorkommen?

Haben Kubikzahlen besonders viele oder besonders wenige Teiler?

Gibt es jenseits der Eins Kubikzahlen die gleichzeitig auch Quadratzahlen sind?

Gibt es Muster bei der Quersumme von Kubikzahlen?

Kann eine Kubikzahl eine Primzahl sein?

Stehen Kubikzahlen in irgendeier Beziehung zur Primzahlen?

Stehen Kubikkzahlen in irgendeiner Beziehung zu Dreieckszahlen?

Entsteht etwas Interesssantes, wenn man die Reihenfolge der Ziffern von Kubikzahlen umkehrt, also etwa aus 125 eine 521 macht?

Kann man Kubikzahlen als Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von Primzahlen, Quadratzahlen, geraden ungeraden oder sonstigen besonderen Zahlen oder Kombinationen davon schreiben?

Persönliche Anmerkung

Der Mathematiker Paul Lockhart hat in einem kleinen und sehr lesenwerten Büchlein^[1] beklagt, dass die Mathematik an Schulen letztendlich als ein sinntötendes Lernen von fertigen Rechenregeln betrieben werde. Die meisten Kinder, so Lockhart, würden dem eigentlichen Zauber der Mathematik beraubt werden. Mit Kubikzahlen kann man dem schon in der Grundschule entgegen wirken. In unserer Lernwerkstatt in Aachen erforschen wir die Eigenschaften von Kubikzahlen schon mit Kindern aus der Grundschule. Selbst nach Mustern zu suchen kann die Aufmerksamkeit von Kindern über Stunden fesseln. Dazu hat es sich bewährt, eine große Tabelle mit interessanten Fragen auf ein riesiges Blatt Papier zu schreiben, die die Kinder dann in Ruhe durchgehen können. Links schreibt man die Frage hin, rechts daneben viel freien Platz für Beispiele, die man gefunden hat (oder auch nicht). Und wenn man ein Muster erkannt hat, kann man fragen, ob das immer und für alle Kubikzahlen gilt. Damit reißt man das große Gebiet der mathematischen Beweise an.

Fußnoten

[1] Paul Lockhart: A Mathematician's Lament. How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. Bellevue Literary Press. New York. 2009. ISBN 978-1-934137-17-8.