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Irrationale Zahl

Definition

Basiswissen


Eine Zahl, die man nicht als Bruch schreiben kann, heißt irrational. In Dezimaldarstellung bilden die Nachkommaziffern eine unendlich lange Abfolge, die nicht ab irgendeiner Stelle periodisch wird". Das klassische Beispiel für eine irrationale Zahl ist die Kreiszahl Pi (etwa 3,14).

Definition



Die Wurzel von 2 als Beispiel



MERKSATZ:

Die Wurzel von 2 ist ein klassisches Beispiel für eine irrationale Zahl. Andere oft angeführte Beispiele sind die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e.


Die 2,4 als Gegenbeispiel



Eigenschaften einer irrationalen Zahl



Irrationale Zahlen und die Periodenlänge


Als Periodenlänge bezeichnet man bei Kommazahlen die Länge eines Nachkomma-Blockes von Zahlen, die sich ab einer bestimmten Nachkommastelle unendlich oft und ohne Lücken immer wiederholen. Bei irrationalen Zahlen wie etwa Pi wiederholen sich die Nachkommastellen niemals unendlich oft. Also ist die Periodenlänge entweder nicht definiert oder unendlich lang. Siehe auch Periodenlänge bei Dezimalzahlen ↗

Irrationale Zahlen können regelmäßig sein


Eine irrationale Zahl kann in dezimaler Schreibweise sehr regelmäßig ein. Die Regelmäßigkeit darf aber keine Periode bilden. Ein Beispiel für eine sehr regelmäßig aufgebaut Dezimalzahl ist die 1,12123123412345123456… Wenn man etwas auf die Zahl blickt, erkennt man irgendwann, wie sich die Nachkommastellen aufbauen. Es gibt aber keinen festen Block von Zahlen, die sich irgendwann ohne Lücken immer wiederholen. Damit ist die Dezimalzwahl auch nicht periodisch und somit irrational.

Schreibweise



Was heißt rational?



Was heißt irrational?


Rational heißt in der Mathematik so viel wie als Bruch darstellbar. Ein Bruch wird auch als Verhältnis bezeichnet, auf Latein eine Ratio. Irrational heißt also so viel wie: nicht als Bruch darstellbar. Als Bruch gelten in diesem Sinne nur Brüche bei denen sowohl der Zähler (oben) als auch der Nenner (unten) ganze Zahlen sind. Außerhalb der Mathematik heißt irrational allerdings etwas anderes, nämlich: nicht den Regeln der Logik oder der Vernunft folgend. Lies mehr dazu unter irrational ↗

Fußnoten