Irrationale Zahl
Definition
Basiswissen
Eine Zahl, die man nicht als Bruch schreiben kann, heißt irrational. In Dezimaldarstellung bilden die Nachkommaziffern eine unendlich lange Abfolge, die nicht ab irgendeiner Stelle periodisch wird". Das klassische Beispiel für eine irrationale Zahl ist die Kreiszahl Pi (etwa 3,14).
Definition
- Eine Zahl, die man als nicht weiter kürzbaren Bruch schreiben kann ist eine rationale Zahl ↗
- Eine Zahl, die man nicht als vollständig gekürzten Bruch schreiben kann heißt Irrational ↗
- Und: bei einem Bruch müssen Zähler und Nenner ganze Zahlen sein.
Die Wurzel von 2 als Beispiel
- Für die Wurzel von 2 findet man keine Zahl, die genau passt ...
- und die sich als vollständig gekürzter Bruch schreiben lässt.
- Die 1,41 passt zwar in etwa und wäre als Bruch 141/100.
- Aber 1,41 mal 1,41 gibt nicht genau 2, also ist es noch nicht die exakte Wurzel.
MERKSATZ:
Die Wurzel von 2 ist ein klassisches Beispiel für eine irrationale Zahl. Andere oft angeführte Beispiele sind die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e.
Die Wurzel von 2 ist ein klassisches Beispiel für eine irrationale Zahl. Andere oft angeführte Beispiele sind die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e.
- Egal was man auch probiert, man wird keine Zahl finden, die mit sich selbt ...
- multipliziert genau 2 ergibt und sich als gekürzter Bruch schreiben lässt.
- Die Wurzel von zwei heißt deshalb irrational.
- Siehe mehr unter Wurzel zwei ↗
Die 2,4 als Gegenbeispiel
- Die 2,4 kann man als Bruch schreiben als 24/10, gekürzt zu 12/5.
- Die 2,4 ist also keine irrationale Zahl; die 2,4 ist rational ↗
Eigenschaften einer irrationalen Zahl
- Bei einer irrationalen gibt es keinen vollständig gekürzten Bruch, der exakt diese Zahl meint.
- Und es gibt keine endliche Dezimalzahl, die exakt diesen Bruch meint.
- Eine irrationale Zahl hat als Dezimalzahl unendlich viele Nachkommastellen.
- In der Dezimalschreibweise gibt es keine Periode, die sich irgendwann einstellt.
Irrationale Zahlen und die Periodenlänge
Als Periodenlänge bezeichnet man bei Kommazahlen die Länge eines Nachkomma-Blockes von Zahlen, die sich ab einer bestimmten Nachkommastelle unendlich oft und ohne Lücken immer wiederholen. Bei irrationalen Zahlen wie etwa Pi wiederholen sich die Nachkommastellen niemals unendlich oft. Also ist die Periodenlänge entweder nicht definiert oder unendlich lang. Siehe auch Periodenlänge bei Dezimalzahlen ↗
Irrationale Zahlen können regelmäßig sein
Eine irrationale Zahl kann in dezimaler Schreibweise sehr regelmäßig ein. Die Regelmäßigkeit darf aber keine Periode bilden. Ein Beispiel für eine sehr regelmäßig aufgebaut Dezimalzahl ist die 1,12123123412345123456… Wenn man etwas auf die Zahl blickt, erkennt man irgendwann, wie sich die Nachkommastellen aufbauen. Es gibt aber keinen festen Block von Zahlen, die sich irgendwann ohne Lücken immer wiederholen. Damit ist die Dezimalzwahl auch nicht periodisch und somit irrational.
Schreibweise
- Für die Menge der irrationalen Zahlen gibt es keine Abkürzung.
- Stattdessen schreibt man oft kurz: ℝℚ
- Das heißt: die Menge der reellen Zahlen ohne die Menge der rationalen Zahlen.
- Siehe auch unter ℝ ohne ℚ ↗
Was heißt rational?
- Rational kommt von "Ratio" und meint "Verhältnis".
- Ein Verhältnis ist mathematisch ein Bruch.
- Irrational heißt also "nicht-als-Bruch".
- Siehe auch Ratio ↗
Was heißt irrational?
Rational heißt in der Mathematik so viel wie als Bruch darstellbar. Ein Bruch wird auch als Verhältnis bezeichnet, auf Latein eine Ratio. Irrational heißt also so viel wie: nicht als Bruch darstellbar. Als Bruch gelten in diesem Sinne nur Brüche bei denen sowohl der Zähler (oben) als auch der Nenner (unten) ganze Zahlen sind. Außerhalb der Mathematik heißt irrational allerdings etwas anderes, nämlich: nicht den Regeln der Logik oder der Vernunft folgend. Lies mehr dazu unter irrational ↗
Fußnoten
- [1] Die irrationalen Zahlen gehören zu den reellen Zahlen: "Die Elemente von ℝℚ, also die nicht-rationalen reellen Zahlen, nennt man irrationale Zahlen." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Dort im Eintrag "Reelle Zahlen", Seite 371. Siehe auch reelle Zahl ↗