Definition

Als homogen bezeichnet man eine Funktion wenn für ihre n Variablen und für alle t sowie einen festen Zahlenwert von m gilt: f(tx₁ ,tx₂…,txₙ) = tᵐ ·f(x₁ ,x₂…,xₙ). Das kleine m der sogenannte Homogenitätsgrad von f, ist.^[1] Das ist hier mit einem Beispiel näher erklärt.

m = 1

Für die Funktion f(x₁ ,tx₂)=2x₁+4x₂ wird die Homogenität überprüft. Es muss also für ein beliebiges t, etwa die Zahl 5 gelten: f(5x₁ ,5x₂) = 5¹ ·f(x₁ ,x₂). Das heißt in die konkrete Funktionsgleichung eingesetzt:

Allgemein: (tx₁ ,tx₂…,txₙ) = tᵐ ·f(x₁ ,x₂…,xₙ)

Mit t=5 und m=1: f(5x₁ ,5x₂) = 5¹ ·f(x₁ ,x₂)

2·(5x₁)+4·(5x₂) = 5¹·(2x₁+4x₂) | Klammern auflösen

10x₁+20x₂ = 10x₁+20x₂ ✓

m = 2

Für die Funktion f(x, y)=x₁²-10x₂² wird die Homogenität überprüft. Es muss also für ein beliebiges t, etwa die Zahl 7 gelten: f(7x, 7y) = 7² ·f(x₁ ,x₂). Das heißt in die konkrete Funktionsgleichung eingesetzt:

Allgemein: (5x ,5y) = 5¹ ·f(x ,y)

Mit t=7 und m=2: f(7x₁,7x₂) = 7² ·f(x₁ ,x₂)

(7·x₁)²-10·(7·x₂)² = 7²·(x₁²-10·x₂²) | Klammern auflösen

49·x₁²-490·x₂² = 49·x₁²-490·x₂² ✓

Fußnoten

[1] Die Definition stammt aus dem Artikel "Homogene Funktion", in: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/homogene-funktion/4263