Basiswissen

Als linear bezeichnet mein ein Modell der Wirklichkeit, wenn es ausreichend genau mit linearen Abbildungen beschrieben werden kann^[1]. Dieser Gedanke ist verwandt aber doch verschieden von den Idee einer linearen Funktion^[4] oder eines linearen Gleichungssystems^[5]. Hier wird die Bedeutung von linearen Systemen im Sinn der höheren Mathematik betrachtet.

Definition linearer Systeme

Ein System heißt linear, wenn es mathematisch so mit einzelnen Funktionen beschrieben werden kann, dass sich das Verhalten des Gesamtsystems aus der bloßen Additionen der Funktionen, eventuell in Verbindung mit einer rein zahlenmäßigen Vervielfachung einzelner der Funktionen beschreiben lässt. Formal schreibt man zum Beispiel: f(v₁+v₂)=f(v₁)+f(v₂) sowie f(a·v)=a·f(v).^[3]

Lineare Systeme und das Superpositionsprinzip

Für lineare Systeme gilt immer das sogenannte Superpositionsprinzip.^[2] Aber nicht jede Superposition muss zu einem linearen System gehören. Von Superposition spricht man meist im Zusammenhang mit physikalischen Systemen. Klassische Beispiele sind die ungestörte Überlagerung^[6] von idealisierten Wellen mit dem Effekt der Interferenz.^[7] Siehe auch Superposition ↗

Fußnoten

[1] Die deutschsprachige Wikipedia definiert: "In der Systemtheorie ist ein lineares System ein Modell für einen hinreichend gut isolierten Teil der Natur, in dem alle auftretenden Funktionen lineare Abbildungen sind." In: der Artikel "Lineares System (Systemtheorie)". Abgerufen am 2. Juni 2024. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_System_(Systemtheorie)

[2] Die englischsprachige Wikipedia setzt lineare Systeme mit Systemen gleich, bei denen das Superpositionsprinzip gilt: "A system is linear if and only if it satisfies the superposition principle, or equivalently both the additivity and homogeneity properties, without restrictions (that is, for all inputs, all scaling constants and all time.)". In: der Artikel "Linear System". Abgerufen am 2. Juni 2024. Online: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_system

[3] In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Siehe auch Spektrum Lexikon der Mathematik ↗

[4] Als linear bezeichnet man eine Funktion die sich umformen lässt in y=mx+b ↗

[5] Systeme linearer Gleichungen bezeichnet man auch als lineares Gleichungsystem (externer Link) [LGS]

[6] "Superposition (lat.), Übereinanderlagerung, z. B. das Zusammenwirken von zwei Kräften ohne gegenseitige Störung, die Übereinanderlagerung schwacher, durch verschiedene Kräfte hervorgebrachten Deformationen, von Wasserwellen, Seilwellen, elektrischen Wellen etc." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 19. Leipzig 1909, S. 210. Online: http://www.zeno.org/nid/20007548834

[7] "Interferenz, das Zusammenwirken verschiedener Wellenbewegungen in ein und demselben schwingenden Mittel nach dem Gesetz der Superposition der Wellen, nach welchem der Ausschlag eines schwingenden Punktes gleich der algebraischen Summe der durch die einzelnen Wellen erzeugten Ausschläge ist." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 5 Stuttgart, Leipzig 1907., S. 204-205. Online: http://www.zeno.org/nid/20006050026