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Hochpunkttangente

Analysis

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Basiswissen｜ Was meint das?｜ Was sind typische Eigenschaften?｜ Wie sieht die Gleichung aus?｜ Wie bestimmt man sie?｜ Wie sieht ein Beispiel aus?


Basiswissen


Die Tangente eines Graphen an seinem Hochpunkt ist immer eine Gerade mit der Steigung 0. Die Gerade verläuft immer parallel zur x-Achse und ist selbst als Funktion eine konstante Funktion. Das ist hier näher erklärt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Die Hochpunkttangente t(x) geht genau durch den Hochpunkt und hat dort dieselbe Steigung wie auch f(x). Bemerkenswerterweise darf die Tangente den Graphen von f(x) an anderen Stellen beliebig oft schneiden, was hier auch der Fall ist.☛


Was meint das?


  • Hochpunkt mein hier ein lokales Maximum eines Funktionsgraphen.
  • Tangente meint hier eine Gerade, die den Graphen nur berührt.
  • Berühren meint, dass sie den Graphen an der Stelle nicht schneidet.
  • Eine Hochpunkttangente berührt den Graphen also im Hochpunkt.
  • Die Gerade nennt man auch Deutsch auch eine "Berührende".

Was sind typische Eigenschaften?


  • Hochpunkttangenten haben die Gleichung t(x)=b ↗

Wie sieht die Gleichung aus?


  • Als Bauplan für die Gleichung geht immer t(x)=b.
  • Das b ist gleich dem y-Wert des Hochpunktes.
  • Das ist die Gleichung einer konstanten Funktion.

Wie bestimmt man sie?


  • Erst den Hochpunkt einer Funktion f(x) bestimmen.
  • Dann den y-Wert des Hochpunktes nehmen.
  • Dieser y-Wert ist das b von t(x).
  • Gleichung hinschreiben: t(x)=b

Wie sieht ein Beispiel aus?


  • Die Funktion f(x)=x³-27x hat einen Hochpunkt bei (-3|54).
  • Dann ist das b der Hochpunkttangente automatisch die 54.
  • t(x)=54