Basiswissen

Ein Hochpunkt im Sinne eines Extremums wird in der Literatur (Stand 2021) auf zwei Arten definiert: a) ein Punkt, der höher ist als alle anderen oder b) ein Punkt für den es keinen höheren gibt.

Problem

Definiert man einen Hochpunkt eines Bereiches darüber, dass es keine höheren Punkte geben darf, dann ist zum Beispiel jeder Punkt einer konstanten Funkion (waagrechte Gerade als Graph) ein Hochpunkt. Definiert man, dass ein Hochpunkt höher sein muss als alle anderen Punkte im betrachteten Bereich, dann hat eine konstante Funktion keinen Hochpunkt. Beide Definitionen kommen in der Literatur vor.

Hochpunkte werden in der Literatur teilweise als Punkte definiert, deren erste Ableitung 0 und deren zweite Ableigung negativ sein müssen. Anders gesagt: ihre Tangente hat die Steigung 0 und ihre Krümmung ist negativ. Diese Definition wird explizit für lokale Hochpunkte verwendet. Diese Definition schließt die Existenz von Hochpunkten auf einer konstanten Funktion aus und spricht damit eindeutig für die Variante a.

Lösungsmöglichkeit

Es müsste eine begriffliche Trennung für die zwei Definitionsarten geben.

Variante a) z. B. Höchstpunkt für: alle anderen Punkte sind niedriger

Variante b) Z. B. Hochpunkt: es gibt keine höheren

Oder eine Unterscheidung durch ein eindeutiges Adjektiv.

Definitionen aus Fachbüchern

Variante a: Papula

Der Papula lässt globale oder absolute Extremwerte undefiniert. Definiert werden aber relative bzw. lokale Extremwerte: "Eine Funktion y=f(x) besitzt an der Stelle xo ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung von xo stets f(x) = f(x) bzw. f(xo) < f(x) ist (mit x ungleich xo)."^[1] Damit hat f(x)=5 keine lokalen Extremwerte.

Variante b: Spektrum Lexikon

Unter dem Eintrag Extremum wird ein Extremwert oder Maximum (global, absolut) definiert: Für eine Funktion f auf einer Menge D definiert ist a Element D genau dann ein globales Maximum, wenn f(x) kleiner oder gleich f(x) für alle x Werte aus dem Definitionsbereich gilt.^[2] Damit bestünde die Funktion f(x)=5 nur aus globalen Hochpunkten.

Variante b: Wolfram MathWorld

Hier wird Extremum im Sinne der Analysis definiert über die Begriffe Maximum und Minimum. Das Maximum einer Menge wird definiert als das letzte Element einer (aufsteigend) geordneten Liste. Auf der Seite wird explizit das Beispiel genannt: max(x,x)=x. Damit muss das Maximum nicht höher sein als andere Elemente. Es darf auch gleich hohe andere Elemente geben.^[3] Damit besteht f(x)=5 nur aus Hochpunkten.

Variante b: Bronstein & Semendjajew

Unter dem Eintrag "Extremwerte von Funktion" wird eindeutig definiert, dass eine Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D an der Stelle a ein absolutes oder globales Maximimum hat, wenn für alle x Element D die Ungleichung f(a) größer oder gleich f(x) ist. Für lokale Maxima wird dieselbe Ungleichung für die Epsilon-Umgebung verwendet.^[4] Damit gilt nach Bronstein: f(x)=5 besteht nur aus Hochpunkten.

Philosophische Tragweite

Der deutsch-amerikanische Philosoph Herbert Marcuse hatte sehr aufmerksam die deutsche Gesellschaft im Dritten Reich sowie die amerikanische Gesellschaft in der und kurz nach der Kriegszeit studiert und analysiert. Marcuses scharfsinnige aber nicht einfach zu verstehenden Gedanken mündeten in dem Bcuh "Der eindimensionale Mensch", welches 1964 zuerst auf Englisch in den USA erschien.^[5] Ein Befund zu modernen Industriegesellschaften ist der, dass Begriffe mit ihren Bedeutungen immer mehr durch Handlungsanweisungen ersetzt werden. In der Sprache Marcuses werden sie operationalisiert. Und damit geht genau die Dimension von Sinn und Bedeutung verloren. Zurück bleibt die eine Dimension der ausführbaren Handlungen. Und damit, so meine ergänzte Interpretation, wird der einzelne Mensch bereits in der Schule ganz auf seine funktionale Rolle in einem Räderwerk ineinandergreifender Abläufe (Wirtschaft, Militär, Kultur, Bildungswesen etc.) zurechtgestutzt und vorbereitet. Siehe mehr unter 👉 Der eindimensionale Mensch

Fußnoten

[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-0561-3. Verlag Springer Vieweg. Siehe auch 👉 Der Papula

[2] Der Artikel "Extremum". In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Dort die Seite 114.

[3] Wolfram Matheworld. Stand Dezember 2020. Online: https://mathworld.wolfram.com/Extremum.html

[4] Bronstein, Semendjawew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Mehr unter 👉 Der Bronstein

[5] Herbert Marcuse: One-Dimensional Man: Studies in the Ideology of Advanced Industrial Society. Beacon Press, Boston 1964. Siehe auch 👉 Der eindimensionale Mensch