Basiswissen

Eine geometrsche Folge oder Progression^[1] nennt man eine Zahlenkette, die sich dadurch ergibt, dass man die Anfangszahl mit einem (Änderungs)Faktor q multipliziert. Das Ergebnis ist die zweite Zahl. Die zweite Zahl multipliziert man wieder mit q. Das gibt die dritte Zahl. Und immer so weiter.^[1] Das heißt auch, dass der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen immer denselben Wert hat.^[2] Die geometrische Folge ist eng verwandt mit der Exponentialfunktion.

Beispiel für eine geometrische Folge

2 ⭢ 4 ⭢ 8 ⭢ 16 ⭢ 32

Eigenschaften dieser Folge

Der Quotient aus zwei Nachbargliedern bleibt immer 👉 konstant

Hier ist der Änderungsfaktor die Zahl 2.

Das kleine q ist der 👉 Änderungsfaktor

Alte Zahl mal q gibt die nächste Zahl.

Die einzelnen Zahlen heißen 👉 Glied[er]

Was ist der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe?

Wenn man die Glieder der geometrischen Folge zusammenaddiert denken möchte, dann spricht man von einer geometrischen Reihe.

Was ist der Unterschied zwischen einer geometrischen und einer arithmetischen Folge?

Wenn man mit immer der gleichen Malzahl, dem Änderungsfaktor, von einem alten zum nächsten neuen Glied kommt, dann spricht man von einer geometrischen Folge. Wenn man mit der immre gleichen Pluszahl zum nächsten Glied kommt, dann hat man 👉 arithmetische Folge

Exponentialfunktion

Wie bei einer geometrischen Folge, so ändert sich auch bei einer Exponentialfunktion (z. B. f(x) = a·bˣ) der Funktionswert durch Multiplikation mit einem immer konstanten Faktor. Ein wesentlicher Unterschied ist neben der Art der Darstellung vor allem die Tatsache, dass bei einer Folge eine diskrete Liste von Zahlen ist während eine Funktion auch eine Kontinuum von Zahlen beschreiben kann. Bei einer Folge kann man also zwei Nachbarzahlen benenne, zwischen denen dann kann weitere Zahl mehr liegt. Bei einer Funktion muss das nicht zwingend möglich sein. Siehe auch 👉 Exponentialfunktion

Fußnoten

[1] Mal und geteilt: "Progress bedeutet Fortschritt oder Fortgang, progressiv daher fortschreitend. In der Mathematik heißt Progression oder Reihe eine Folge von Zahlen oder Größen, die nach einem bestimmten Verhältnisse wachsen oder sich vermindern. Liegt diesem Verhältnisse nur die Addition oder Subtraction zum Grunde, wie in der Reihe 11, 8, 5, 2, so heißt sie eine arithmetische, beruht es auf Multiplication oder Division, wie in der Reihe 4, 16, 64, 256 u.s.w., eine geometrische Reihe." In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 3. Leipzig 1839., S. 582. Online: http://www.zeno.org/nid/20000856045

[2] Quotientengleichheit: "Progrediren, lat.-deutsch, fortschreiten, vorgehen; Progreß, Fortschritt, Wachsthum; Progression, Fortschreitung, Stufengang; Progression od. Reihe, in der Mathematik die Reihenfolge von Zahlen, deren Zu- oder Abnahme nach einem bestimmten Gesetze geschieht. Sie ist eine arithmetische, wenn die Zahlen mit gleichen Differenzen aufeinander folgen oder jede Zahl das arithmetische Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden ist, z.B. 3, 5, 7, 9, 11 etc.; eine geometrische, wenn jedes Glied das geometrische Mittel des vorhergehenden und nachfolgenden ist, d.h. bei gleichen Quotienten der aufeinander folgenden Glieder, z.B. 3, 9, 27, 81 etc." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1856, Band 4, S. 621. Online: http://www.zeno.org/nid/20003479536

[3] Nach Gesetzmäßigkeit: "Progression (v. lat.), 1) Fortschreiten, Stufenfolge, Stufengang; 2) (Math.), die Aufeinanderfolge von Größen od. Zahlen (Glieder), welche nach einem gewissen Gesetze wachsen od. abnehmen. Ist die Differenz zwei auf einander folgender Glieder stets dieselbe, z.B. 3,5,7,9,11 etc., so ist es eine arithmetische P.; ist dagegen der Quotient zweier solchen Glieder derselbe, z.B. 2,4,8,16,32, so ist es eine geometrische P." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 617. Online: http://www.zeno.org/nid/20010685863

[4] Bevölkerungszahl oder Staatschulden: "Progression (lat.), Fortschreitung, fortschreitende Steigerung. Wenn man sagt, daß eine Größe (wie z. B. die Bevölkerung eines Landes oder die Staatsschulden) in arithmetischer oder in geometrischer P. wächst (abnimmt), so meint man damit, daß sie wächst (abnimmt) wie die Glieder einer arithmetischen oder einer geometrischen Reihe. Früher bezeichnete man zuweilen die arithmetischen und die geometrischen Reihen als Progressionen im Gegensatze zu anders gebildeten Reihen (s. Reihe)." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 369. Online: http://www.zeno.org/nid/20007292147

[5] "Progressiōn, in der Mathematik eine Reihe, bei der zwei aufeinander folgende Glieder für alle Stellen der Reihe entweder dieselbe Differenz (arithmet. P.) oder denselben Quotienten (geometr. P.) haben." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 459. Online: http://www.zeno.org/nid/20001467522