Definition

Eine Doppelsumme, angezeigt durch ein doppelt geschriebenes großes griechisches Sigma Σ genannt, ist eine mathematische Notation, bei der das Summenzeichen zweimal hintereinander verwendet wird, um die Summe aller Elemente einer zweidimensionalen Struktur, wie einer Matrix oder Tabelle, zu berechnen. Es wird häufig verwendet, um beispielsweise alle Elemente einer Matrix aufzusummieren, wobei die Summation zeilen- oder spaltenweise erfolgt. Die äußere Summe wird dabei nach dem ersten Index (z. B. i) durchlaufen, während die innere Summe nach dem zweiten Index (z. B. j) iteriert.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Das Zeichen für die Doppelsumme entspricht einer verschachtelten Schleife in Programmiersprachen: man nimmt vom linken Summenzeichen den ersten Wert der Laufvariablen und spielt mit diesem dann alle Werte der Laufvariablen vom zweiten Summenzeichen durch. Dann erhöht man den Wert der Laufvariablen des linken Summenzeichens um ein und geht wieder alle Werte der Laufvariablen vom zweiten Summenzeichen durch. Und so weiter.☛

Fachworte

Das Zeichen Σ ist ein großes Sigma ↗

Der Kleinbuchstabe (oft i,j oder k) unter dem Sigma ist eine Laufvariable ↗

i=1 heißt, dass die Laufvariable bei der Zahl eins beginnt, der Startwert ↗

Oft steht über dem Summenzeichen ein kleines n oder eine Zahl, der Endwert ↗

Ausführliches Beispiel

In dem folgenden Beispiel soll das i die Laufvariable für das linke Summenzeichen sein, k ist entsprechend die Laufvariable für das rechte Summenzeichen. Für jeden Wert von i geht man dann alle Werte von k durch. Das ergibt für jeden Wert von i eine sogenannte innere Summe. Alle diese inneren Summe aufaddiert ergeben dann die äußere Summe, die auch das Endergebnis ist:

ΣΣ(i²+k)

Mit i von 1 bis 4

Mit k von 3 bis 5

Innere Summe für i=1:

i=1 und k=3 gibt: 1²+3 = 4

i=1 und k=4 gibt: 1²+4 = 5

i=1 und k=5 gibt: 1²+5 = 6

Innere Summe i=1: 15

Innere Summe für i=2:

i=2 und k=3 gibt: 2²+3 = 7

i=2 und k=4 gibt: 2²+4 = 8

i=2 und k=5 gibt: 2²+5 = 9

Innere Summe i=2: 24

Innere Summe für i=3:

i=3 und k=3 gibt: 3²+3 = 12

i=3 und k=4 gibt: 3²+4 = 13

i=3 und k=5 gibt: 3²+5 = 14

Innere Summe i=3: 39

Innere Summe für i=4:

i=4 und k=3 gibt: 4²+3 = 19

i=4 und k=4 gibt: 4²+4 = 20

i=4 und k=5 gibt: 4²+5 = 21

Innere Summe i=4: 60

Äußere Summe:

15+24+39+60 = 138

ΣΣ(i²+k) = 138 ✔

Weitere Beispielergebnisse

Wer den Umgang mit Doppelsummen trainieren möchte hat hier 10 einfache Terme mit Ergebnissen. Das i ging dabei immer von 1 bis 4 und das j immer von 4 bis 8:

ΣΣ(i + j) = 140

ΣΣ(i·j) = 600

ΣΣ(i² + j) = 244

ΣΣ(i + j²) = 284

ΣΣ(i² + j²) = 904

ΣΣ(2i + 3j) = 380

ΣΣ(i²·j) = 1800

ΣΣ(i·j²) = 3040

ΣΣ(i³ + j) = 460

ΣΣ(i + 2j²) = 568