Basiswissen

f(x) = 4x + 3 wird aufgeleitet zu F(x) = 4·½·x²+3·x: die Glieder^[1] einer Pluskette, einer Minuskette oder einer gemischten Plusminuskette kann man einzeln für sich aufleiten. Es ist dieselbe Logik, mit der man auch Plus- und Minusketten über die Summenregel ableitet.

Beispiele zum Aufleiten über die Summenregel

Oft erkennt man das Schema recht gut mit mehreren einfachen Beispielen. Das Muster ist dasselbe wie beim Ableiten über die Summenregel: man geht einzeln die Glieder der Plus- oder Minuskette, des sogenannen Polynoms durch und leitet sie einzeln auf:

f(x) = 8x³ + 10x - 4 -> aufleiten -> F(x) = 2x⁴ + 5x² - 4x

f(x) = 8x³ - 10x + 4 -> aufleiten -> F(x) = 2x⁴ - 5x² + 4x

f(x) = 8x³ + 10x -> aufleiten -> F(x) = 2x⁴ + 5x²

f(x) = 8x³ - 10x -> aufleiten -> F(x) = 2x⁴ - 5x²

f(x) = x³ + 10 -> aufleiten -> F(x) = 0,25·x⁴ + 10x

f(x) = x³ - 10 -> aufleiten -> F(x) = 0,25·x⁴ - 10x

f(x) = x + 1 -> aufleiten -> F(x) = ½·x² + x

f(x) = x - 1 -> aufleiten -> F(x) = ½·x² - x

Siehe auch 👉 Aufleitungsregeln

Erklärung des ersten Beispiels

In dem ersten Beispiel war der gegebene Funktionsterm 8x³ + 10x - 4. Die Plus- und Minuszeichen als Rechenzeichen trennen die einzelnen Glieder voneinander. Die drei Glieder sind: 8x³ sowie 10x und die Zahl 4. Diese drei Glieder leitet man dann einzelnen auf. Dabei bleiben die ursprünglichen Rechenzeichen (plus und minus) unverändert erhalten. Zur besseren Übersicht kann man die einzelnen Glieder in Klammern setzen und dann einzeln innerhalb jeder Klammer den Term für die Stammfunktion einzeln bilden:

f(x) = 8x³ + 10x - 4 | für die Optik Klammern um die einzelnen Glieder setzen

f(x) = (8x³) + (10x) - (4) | jeden Klammerinhalt einzeln aufleiten

F(x) = (2x⁴) + (5x²) - (4x) | Klammer am Ende wieder weglassen

F(x) = 2x⁴ + 5x² - 4x

Die Klammern sind nur eine optische oder didaktische Hilfe. Man kann sie eigentlich auch ganz weglassen.

Malpunkt oder nicht?

4x ist rechnerisch dasselbe wie 4·x: grundsätzlich kann man Malpunkte (·) zwischen einer Zahl und einer Variablen oder einer Konstanten (Buchstaben) weglassen. Es ist jedoch niemals falsch, den Malpunkt auszuschreiben. Wenn das die Übersichtlichkeit oder Deutlichkeit erhöht, kann man den Malpunkt jederzeit ausschreiben. Siehe auch 👉 Malzeichen

Fußnoten

[1] Bei 4x+8 sind die 4x und die 8 Glieder. Als Glieder bezeichnet man die Teile einer Plus- oder Minus oder einer gemischten Plus-/Minuskette die von den Plus- und Minuszeichen getrennt sind. Noch ein Beispiel: der Term x - 3 + 5 - 24y + 33z² hat fünf Glieder. Diese sind das x, die Zahl 3, die Zahl 5, der Term 24y und der Term 33z². Siehe auch 👉 Glied