Basiswissen

Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form f(x)=4x²-24x+32 wird umgeformt in die Scheitelpunktform: f(x)=4·(x-3)²-4. Wie das mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (QE) geht wird hier in kleinen Schritten erklärt.

Worum geht es hier?

Es geht um die Bestimmung des Scheitelpunktes von quadratischen Funktionen.

Aus der Scheitelpunktform (SPF) kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen.

Oft hat man aber von der Funktion erst einmal die Allgemeine Form gegeben.

Hier geht es darum, die Allgemeine Form in die SPF umzuwandeln.

Es wird das Verfahren mit der Quadratischen Ergänzung (QE) erkkärt.

Was ist das Ziel?

Das Ziel dieser Anleitung hier ist ein Verfahren, das man immer und immer auf dieselbe Weise durchführen kann. Es gibt manchmal vielleicht schnellere oder einfachere Wege. Aber hier geht es nur um ein Verfahren, das genau so immer auf dieselbe Weise funktioniert.

Gegeben: allgemeine Form: f(x) = 4x² - 24x + 32

Gesucht: Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)² + e

Anleitung

0. Vorbereitung:
0. Wenn vor dem x² keine Zahl steht, ergänze dort eine 1 als Vorfaktor:
0. Aus z. B. x²-8x+4 wird dann: 1x²-8x+4
0. Wenn vor dem x² nur ein Minuszeichen steht, ergänze dort eine -1:
0. Aus z. B. -x²-8x+4 wird dann: -1x²-8x+4

1. Ausklammern:
1. Faktor vor dem x² ausklammern:
1. Gegeben ist z. B.: f(x) = 4x² - 24x + 32
1. Zum Ausklammern eine eckige Klammer benutzen:
1. Schreibe vor die eckige Klammern einen Malpunkt ↗
1. Gibt: 4·[x²-6x+8], siehe eventuell unter ausklammern ↗

2. Quadratische Ergänzung:
2. Es geht jetzt nur um den Inhalt innerhalb der eckigen Klammer.
2. Bisheriger Stand: f(x) = 4·[x²-6x+8]
2. Die -6x ist das lineare Glied (kommt gleich).
2. Die +8 ist das absolute Glied (kommt gleich).
2. Die Zahl hinter dem x² (hier die 6) halbieren und quadrieren gibt: 9
2. Diese Zahl neun ist die quadratische Ergänzung QE.
2. Die Funktionsgleichung notieren bis zum linearen Glied:
2. f(x) = 4·[4x²-6x
2. Die QE (hier die 9) einmal mit + und einmal mit - anfügen:
2. f(x) = 4·[4x²-6x+9-9
2. Dann am Ende das absolute Glied (Teil ohne x) anfügen:
2. 4·[x²-6x+9-9+8
2. Und dann die eckige Klammer schließen:
2. 4·[x²-6x+9-9+8]

3. Einklammern:
3. Nun wird aus den ersten drei Gliedern innerhalb der eckigen Klammer ...
3. eine runde Klammer mit Quadrat gemacht. Das geht immer so:
3. Hinter der ersten eckigen Klammer sofort eine runde Klammer aufmachen: 4[(
3. Hinter die runde Klammer immer und sofort ein blankes x schreiben: 4[(x
3. Dann die Zahl hinter dem x² aus Schritt zwei mit Vorzeichen halbieren ...
3. Halbieren heißt: geteilt durch zwei. Das Vorzeichen bleibt erhalten.
3. und diese Hälfte mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3
3. Runde Klammer zumachen und quadrieren: 4[(x-3)²
3. Zweite und dritte Zahl nach dem linearen Glied aus Schritt 2 ...
3. mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3)²-9+8
3. Eckige Klammer zumachen: 4[(x-3)²-9+8]
3. Strichrechnung (plus/minus) in eckiger Klammer ausführen: 4[(x-3)²-1]

4. Eckige Klammer auflösen:
4. Das ist dasselbe wie ausmultiplizieren:
4. f(x) = 4·(x-3)² - 4

5. Am Ende nicht vergessen, das f(x) links vor das
5. Gleichheitszeichen zu schreiben.
5. Das ist jetzt die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. ✓

Aus der Scheitelpunktform kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes SP direkt ablesen. Zum Ablesen siehe auch den Artikel Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ↗

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