Basiswissen

Was meint Achsensymmetrie in der Schulmathematik?

• In der Schulmathematik meint das meistens: zur y-Achse.
  

• Der Graph ist schmetterlingsartig an der y-Achse gespiegelt:
  

• Ein x-Wert und seine Gegenzahl haben dann immer den gleichen y-Wert.
  

• Formal definiert man Achsensymmetrie so: f(x) = f(-x).
  

• Das ist die Achsensymmetrie im engeren Sinn.
  

• Siehe auch unter f(x)=f(-x) ↗
  

• Allgemein gerade Funktion ↗
  

Was ist Achsensymmetrie im allgemeinen Sinn?

• In der Schulmathematik wird Achsensymmetrie oft nur auf die y-Achse bezogen.
  

• Man sollte präziser immer sagen: "achsensymmetrisch zur y-Achse".
  

• Ein Graph kann aber auch symmetrisch zu einer ganzen anderen Achse sein.
  

• So ist zum Beispiel die Gerade g(x)=2x achsensymmetrisch zu a(x)=-0,5x.
  

• Zu sagen, dass g(x) nicht achsensymmetrisch ist, ist also falsch.
  

• g(x) ist zwar nicht achsensymmetrisch zur y-Achse, aber zu a(x).
  

• Siehe auch Achsensymmetrie ↗
  

Welche Angabe ist immer wichtig?

• Man sollte immer sagen, worauf man die Symmetrie bezieht.
  

• Damit vermeidet man Mehrdeutigkeiten.
  

• Gut: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  

• Gut: Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden f(x)=-0,5x.
  

• Gut: Der Graph ist achsensymmetrisch zur x-Achse.
  

• Nicht gut: Der Graph ist achsensymmetrisch.
  

Welche Graphen sind immer achsensymmetrisch zu y-Achse?

• Die Graphen aller konstanten Funktionen,
  

• die Graphen aller reinquadratischen Funktionen,
  

• die Graphen aller reinquartischen Funktionen,
  

• der Graph der einfachen Cosinusfunktion,
  

• alle Graphen von Betragsfunktionen
  

• alle Graphen von ganzrationalen Funktionen, ...
  

• die nur geradzahlige Exponenten haben.
  

• Siehe auch gerade Funktionen ↗
  

Was ist die Exponentenregel?

• Sie gilt für ganzrationale Funktionen:
  

• f(x) = 3x^4+2x³-4x²+x-16 ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
  

• f(x) = 3x^4+4x²-16 ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  

• Für ganzrationale Funktionen gibt es eine einfache Regel:
  

• Kommt x nur mit geradzahligen Exponenten vor, dann ist der Graph achsensymmetrisch zur y-_Achse.
  

• Dabei gilt: x ist wie x¹ und damit nicht geradzahlig. Aber 4 ist wie 4·x° und damit geradzahlig.
  

• Eine reine Zahl gilt als geradzahlige Potenz von x.
  

• Mehr unter Exponentenregel der Graphensymmetrie ↗
  

Beispiele für achsensymmetrische Funktionen?

• f(x)=x^2 ↗
  

• f(x)=x^4 ↗
  

• f(x)=x^2+1 ↗
  

• f(x)=x^4-x^2 ↗
  

• f(x)=cos(x) ↗