Punkt (Geometrie)

Elementarobjekt

Basiswissen

Der Punkt gilt als elementaren Grundbegriff der Geometrie. Es liegt in der Natur von Grundbegriffen, dass sie dann selbst durch nichts grundlegenderes definiert werden könnne. Man schreibt einem Punkt aber Eigenschaften, die dann als gesichert angenommen werden. Hier stehen einige Eigenschaften von Punkten im Sinn der Geometrie.

Der Punkt in der euklidischen Geometrie

Der Punkt gilt als eine elementarer, das heißt grundlegender Begriff in der klassischen Geometrie. Was selbst den Grund legt, kann dann konsequenterweise nicht mehr weiter definiert werden. Man nimmt es als eine sogenannte Evidenz (Offensichtlichkeit) an man behandelt es ganz einfach formal als Axiom. Ein Axiom ist eine Annahme, die man wie wahr behandelt, ohne dass man sie selbst beweisen kann. In diesem Sinne definierte im dritten Jahrhundert vor Christust der grieschiche Denker Euklid Punkte indirekt über ihre Beziehung zu anderen geometrischen Objekten:

1. Axiom: zwischen zwei Punkten im Raum gibt es nur genau eine kürzeste Verbindungsstrecke.

2. Axiom: zu einer Geraden lässt sich durch einen gegebenen Punkt nur genau eine parallele Gerade zeichnen

Siehe auch Euklidischer Raum ↗

Schreibweisen von Punkten

P(2|4|6) ist eine typische Angabe für einen Punkt in der modernen Geometrie. Punkte werden heute meist mit lateinischen Großbuchstaben wie A, B, C oder P, Q, R bezeichnet. Die sogenannten Koordinaten sind Zahlen, die angeben, wo ein Punkt in einem Koordinatensystem liegt. Die senkrechten Striche zwischen den einzelnen Koordinaten-Zahlen sind sogenannte Trennzeichen. Siehe mehr dazu unter Punktschreibweisen ↗

2D- und 3D-Punkte

In der Physik, der (analytischen) Geometrie und auch der Analysis (Mathematik der Funtionen) werden Punkte oft in einem Koordinatensystem dargestellt. Dabei unterscheidet man zweidimensionale (2D) und dreidimensionale (3D) Koordinatensysteme.

In einem zweidimensionalen xy-Koordinatensystem 2D-Punkt ↗

In einem dreidimensionalen xyz-Koordinatensystem 3D-Punkt ↗

Ein Punkt der Geometrie ist ausdehnungslos

Punkte der Geometrie werden als ausdehnungslos oder als dimensionslos betrachtet^[3]^[4]. Ausdehnungslos heißt, dass sie keine Länge, keinen Flächeninhalt und kein Volumen haben. Während man rein mathematisch widerspruchsfrei mit solchen Objekten rechnen kann, ist die Frage nach einer wirklichen Existenz von ausdehnungslosen Punkten philosophisch unbeantwortet. Kann etwas existieren, dass keinen Raum beansprucht? Oder hängt die Idee einer Existenz nicht untrennbar mit der Einnahme von Raum zusammen? Solche Fragen werden innerhalb der Philosophie von der sogenannten Ontologie behandel.t Siehe auch ausdehnungslos ↗

Fußnoten

[1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Im Kapitel 3.1.1.1 auf Seite 132 heißt es "Punkt und Gerade werden in der modernen Mathematik nicht definiert. Man legt lediglich die Beziehungen zwischen ihnen durch Axiome fest. Anschaulich kann die Gerade als Spur eines Punktes erklärt werden, der sich in einer Ebene auf dem kürzesten Verbindungsweg zwischen zwei anderen Punkten bewegt und dabei nie die Richtung ändert. Unter einem Punkt versteht man die Schnittstelle zwischen zwei Geraden."

[2] Punkt. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 4: Moo bis Sch; 2002; ISBN: 3-8274-0436-3. Im Artikel zum Punkt heißt es dort: "Da es sich um einen Grundbegriff handelt, ist die Definition des Begriffes „Punkt“ nicht möglich, obwohl lange versucht wurde, schlüssige Definitionen dafür anzugeben. So gab Euklid in seinen „Elementen“ die folgende Definition an: Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Diese Definition trifft jedoch keine Aussage, da die beschreibende Eigenschaft „keine Teile zu haben“ selbst nicht definiert ist."

[3] Schubert, C. (2015). Geometrie. Was ist ein Punkt?. In: Kaube, J., Laakmann, J. (eds) Das Lexikon der offenen Fragen. J.B. Metzler, Stuttgart. Dort wird vor allem nach der Anschaulichkeit von einem ausdehnungslos gedachten Punkt gefragt und auf Paradoxien wie jene von Achilles und der Schildrköte verwiesen. Online. https://doi.org/10.1007/978-3-476-05468-5_38

[4] Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 5. Leipzig 1906. Dort heißt es auf Seite 13: "An jedem Körper unterscheidet man drei Dimensionen: Länge, Breite oder Dicke und Höhe. Läßt man eine dieser Dimensionen, etwa die Höhe, immer kleiner und kleiner werden und schließlich auf Null zusammenschrumpfen, so gelangt man zu einer Fläche, der nur noch zwei Dimensionen zukommen: Länge und Breite; läßt man hier wieder die Breite gleich Null werden, so erhält man eine Linie, die nur noch eine Dimension besitzt, die Länge. Wird auch die Länge der Linie gleich Null, so entsteht ein Punkt, der ganz ausdehnungslos ist, oder gar keine Dimension mehr hat." Online: http://www.zeno.org/nid/20006492568