Potenzfunktion
f(x) = a·xⁿ
Definition
f(x) = 2x³ ist eine typische Potenzfunktion: als Potenzfunktion im engeren Sinn bezeichnet man jede Funktion, die man umformen kann in f(x) = Zahl·xⁿ. Das Dach ^ steht für hoch. Für das kleine n gibt es je nach Autor verschiedene Definitionen. Es steht jedoch immer für irgendeine Zahl (nie mit einer Variablen) außer der Zahl 0. Die 0 ist als Exponent nie erlaubt. Das ist hier näher vorgestellt.
Notwendige Eigenschaften jeder Potenzfunktion
◦ Es muss immer eine Potenz geben, also etwas mit hoch, siehe => Potenz
◦ In der Basis (unten) muss das x (oder eine andere Variable) stehen => Basis
◦ In der Basis darf also nicht ausschließlich eine Zahl stehen.
◦ Auch als Basis nicht erlaubt ist eine reine => Konstante [z. B. e oder pi]
◦ Im Exponenten (oben) darf alles außer der Variablen stehen => Exponent
◦ Vor der Potenz darf als Faktor ein beliebiger Term - aber ohne x - stehen.
◦ Man unterscheidet nun verschiedene besondere Fälle.
Die natürliche Potenzfunktion f(x) = a·xⁿ
◦ Die natürliche Potenzfunktion:
◦ Auch geschrieben als f(x) = a·x^n:
◦ Dies ist die Potenzfunktion im engsten Sinn.
◦ Damit sind Funktionsterme möglich wie: 0,5·x², 14x³ oder auch x⁹⁹
◦ In der Schulmathematik wird meist die Definition f(x) = a·xⁿ verwendet.
◦ Das a darf dabei irgendeine beliebige reelle Zahl (außer der 0) sein.
◦ Das n ist auf natürliche Zahlen (1; 2; 3; 4...) ohne die 0 beschränkt.
◦ Der Graph ist entweder eine Gerade oder eine => Parabeln n-ter Ordnung
◦ Den Funktionsterm nennt man auch ein => Monom
Die ganzzahlige Potenzfunktion f(x) = a·xᶻ
◦ Die ganzzahlige Potenzfunktion:
◦ Auch geschrieben als f(x) = a·x^z:
◦ Das ist die Potenzfunktion engeren Sinn.
◦ Sie wird gelegentlich in der Schulmathematik behandelt.
◦ Als Exponent für das x dürfen jetzt alle ganzen Zahlen eingesetzt werden.
◦ Möglich sind als zum Beispiel Terme wie: 2·x⁻⁹ oder x° oder 0,01x⁻³
◦ Der Graph heißt für positive z => Parabeln n-ter Ordnung
◦ Der Graph heißt für negative z => Hyperbeln n-ter Ordnung
◦ Für z = 0 ist der Graph eine => Gerade
◦ Je nach z-Wert gibt es eine => Definitionslücke
Die allgemeine Potenzfunktion f(x) = a·xʳ
◦ Die allgemeine Potenzfunktion
◦ Auch geschrieben als f(x) = a·x^r:
◦ x ist per Definition meist auf x>0 beschränkt.
◦ Das ist die Potenzfunktion im allgemeinen Sinn.
◦ Das kleine r steht für beliebige reelle Zahlen.
◦ Reell ist jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegt.
◦ Diese Definition erlaubt für r Werte wie etwa: 0,5, √2 oder -0,3333
◦ Man kann keine allgemeinen Aussagen mehr über Definitionsbereich und Graphen machen.
◦ Für r=0 wird die Potenzfunktion zu einer konstanten Funktion, für r=1 zu einer lineare.
◦ Andere Werte ergeben als Graphen Hyperbeln und Parabeln, auch höherer Ordnung.
◦ Diese Definition [1] wird normalerweise in der Schulmathematik nicht verwendet.
Quellen
◦ [1] Spektrum Lexikon der Mathematik. Online. Artikel zur Potenzfunktion. 27. Sept. 2021: www.spektrum.de/lexikon/mathematik/potenzfunktion/8013