Komplexe Zahl durch komplexe Zahl

Anleitung

Basiswissen

Vorab

• Am einfachsten geht die Division über die komplexe Zahl in Exponentialform ↗
  

• Es ist aber auch möglich für die komplexe Zahl in kartesischer Form ↗
  

• Hier die Erklärung für alle drei Formen:
  

Kartesische Form

• Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 und z2.
  

• Berechnet werden soll z1 durch z2.
  

• Man schreibt diese Divisionsaufgabe als Bruch:
  

• Die komplexe Zahl z1 = (a+bi) als Zähler
  

• Die komplexe Zahl z2 = (c+di) als Nenner
  

• Dann bildet man die konjugierte Zahl von z2.
  

• Die komplexe Zahl z2 konjugiert ist: (c-di).
  

• Dann erweitert man den Bruch mit (c-di).
  

• Dann multipliziert man die Zähler.
  

• Und man multipliziert die Nenner.
  

• Im Nenner entsteht dann immer eine reelle Zahl.
  

• Man teilt am Ende den Realteil und Imaginärteil des Zählers ...
  

• durch diese reelle Zahl im Nenner.
  

• Man hat dann das Ergebnis in kartesischer Form.
  

• Beispiel: (4+3i) durch (2+2i) gibt (1,75-0,25i)
  

Exponentialform

• Man hat die komplexe Zahl z1 = r1 mal e hoch (i mal phi1)
  

• Man hat die komplexe Zahl z2 = r2 mal e hoch (i mal phi2)
  

• Berechnet werden soll z1 geteilt durch z2 in Polarform.
  

• Man teilt r1 durch r2 und man zieht von phi1 phi2 ab.
  

• Ergebnis ist also: r1/r2 mal e hoch (i phi1-phi2).
  

• Beispiel: 8 mal e hoch (i mal 30 Grad) durch ...
  

• 4 mal e hoch (i mal 10 Grad) gibt ...
  

• 2 mal e hoch (i mal 20 Grad).
  

Polarform

• Man wandelt die Zahlen erst in die Exponentialform um.
  

• Beispiel: r mal [ cos(phi) + i mal sin(phi)] ...
  

• gibt r mal e hoch (i mal phi).
  

• Dann weiter wie oben ...